Tích phân

 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài  - Chuyên mục :  Đã xem: 46 

Trung tâm văn hóa Dạy Tốt giới thiệu bạn đọc Lý thuyết Tích phân thuộc chương trình Toán đại số lớp 12.

 

Tích phân 

 

1. Tích phân và tính chất

Định nghĩa. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] , hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).

Kí hiệu là : ∫abf(x)dx

Vậy ta có :∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)|ab

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: ∫aaf(x)dx=0

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx)

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

∫abf(x)dx=∫baf(t)dt)=∫abf(u)du=... (vì đều bằng F(b) - F(a))

Tính chất của tích phân:

∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx  ( với k là hằng số)

∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx

∫abf(x)dx=∫acf(x))dx+∫cbf(x)dx (với a<b<c)

2. Phương pháp tinh tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a, φ(β)=b và a ≤ φ(t) ≤ b , ∀t ∈ [α;β] . Khi đó:

∫abf(x)dx=∫αβf(ψ(t))ψ′(t)dt

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: 

∫abf(xdx)=∫u(a)u(b)g(u)du

b) Phương pháp tính tích phân từng phần

 

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]|ab−∫abu′(x)v(x)dx

hay ∫abudv=uv|ab−∫abvdu

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : ∫abf(x)dx≥0

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

∫abg(x)dx≤∫abf(x)dx. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

      m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)        


 


 
 Từ khóa: Tích phân
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  Ẩn/Hiện ý kiến

Mã chống spam   

Những tin mới hơn

 

Những tin cũ hơn

Thời điểm thi THPT QG

Bạn muốn tổ chức thi thử vào THPT QG khi nào?

Top