Hàm số lũy thừa

 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài  - Chuyên mục :  Đã xem: 88 

Trung tâm văn hóa Dạy Tốt giới thiệu bạn đọc Lý thuyết Hàm số lũy thừa thuộc chương trình Toán đại số lớp 12.

 

Hàm số lũy thừa 

 

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= xα, với α là một số thực đã cho. Các hàm số  lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α: 

- Nếu α ∈ ℤthì tập các định là ℝ.

- Nếu α ∈ ℤ ℤthì tập các định là ℝ{0}.

- Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

Chú ý: Hàm số y=  có tập xác định là [0;+∞), hàm số y=  có tập xác định ℝ, trong khi đó các hàm y= , y=  đều có tập xác định (0; +∞). Vì vậy  y=  và y=  ( hay y=  và y=  ) là những hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

- Hàm số y= xα  có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (xα)= αxα-1

- Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số 

y= uα(x) cũng có đạo hàm trên J và (uα(x))= αuα-1(x)u’(x).

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xcó tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xn)= nxn-1 và  ∀x ∈ J, (un(x))= nun-1(x)u(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

4. Đạo hàm của hàm số  lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xcó tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xn)= nxn-1 và  ∀x ∈ J, (un(x))= nun-1(x)u(x) nếu  u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.

5. Đạo hàm của căn thức 

Hàm số có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa  ( tập xác định của y=  chứa tập xác định của  y=  và trên tập xác định của y=  hai hàm số trùng nhau).

Khi n lẻ thì hàm số y=  có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y=   và , do đó = . Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y=  không có đạo hàm tại x= 0.

 

Khi n chẵn hàm y=  có tập xác định là  [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo công thức

 = .

Tóm lại, ta có    đúng với mọi x làm cho vế phải có nghĩa. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0, ∀x ∈ J khi n chẵn, u(x) # 0, ∀x ∈ J khi n llẻ thì ∀x ∈ J, 

6. Đồ thị hàm số y=xα trên khoảng (0; +∞)

Chú ý khi khảo sát hàm số y= xα với α cụ thể cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó( chứ không phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).


Hv2fud


 
 Từ khóa: Hàm số lũy thừa
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  Ẩn/Hiện ý kiến

Mã chống spam   

Những tin mới hơn

 

Những tin cũ hơn

Thời điểm thi THPT QG

Bạn muốn tổ chức thi thử vào THPT QG khi nào?

Top