Tích phân Giải tích 12

TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH 12 

1. Tích phân và tính chất

Định nghĩa. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] , hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).

Kí hiệu là : ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Vậy ta có :${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=F\left(x\right){|}_a^b$

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: ${\int }_a^{a}f\left(x\right)dx=0$

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx)$

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_b^{a}f\left(t\right)dt)={\int }_a^{b}f(u)du=...$ (vì đều bằng F(b) - F(a))

Tính chất của tích phân:

${\int }_a^{b}kf\left(x\right)dx=k{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$  ( với k là hằng số)

${\int }_a^b\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\pm {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx$

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right))dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$ (với a<b<c)

2. Phương pháp tinh tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a, φ(β)=b và a ≤ φ(t) ≤ b , ∀t ∈ [α;β] . Khi đó:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(\psi \right(t\left)\right){\psi }^{\prime }\left(t\right)dt$

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u^’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: 

${\int }_a^{b}f\left(xdx\right)={\int }_{u\left(a\right)}^{u\left(b\right)}g\left(u\right)du$

b) Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

${\int }_a^{b}u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)dx=\left[u\right(x\left)v\right(x\left)\right]{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)dx$

hay ${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge 0$

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

${\int }_a^{b}g\left(x\right)dx\le {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

      $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le M(b-a)$