Phương trình mặt phẳng NC

Đăng lúc: Thứ bảy - 20/01/2018 16:37 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài - Chuyên mục : Đã xem: 136

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học mặt phẳng tọa độ NC

MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NC

Bài 15 ( SGK trang 89 Hình học 12 NC)

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm $M (2; 0; - 1); N (1; - 2; 3); P (0; 1; 2)$ ;

b) Đi qua hai điểm $A (1; 1; - 1); B (5; 2; 1)$ và song song với trục Oz ;

c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với $a b c \neq 0$ ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: $\vec{M N} = (- 1; - 2; 4), \vec{M P} = (- 2; 1; 3)$ .

Suy ra $[\vec{M N}, \vec{M P}] = (- 10; - 5; - 5) = - 5 (2; 1; 1)$ .

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là $\vec{n} = (2; 1; 1)$ . Mp(MNP) đi qua $M (2; 0; - 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 1; 1)$ nên có phương trình là:

$2 (x - 2) + 1 (y - 0) + 1 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y + z - 3 = 0$

b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc vói $\vec{A B} = (4; 1; 2)$ và vuông góc với $\vec{k} = (0; 0; 1)$ nên:

$\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{k}] = (| \begin{matrix} 1 2 \\ 0 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 4 \\ 1 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 4 1 \\ 0 0 \end{matrix} |) = (1; - 4; 0)$

(P) qua $A (1; 1; - 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 4; 0)$ nên (P) có phương trình:

$1 (x - 1) - 4 (y - 1) + 0 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 4 y + 3 = 0$

c) Mặt phẳng $(α)$ : $x - 5 y + z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 5; 1)$ .

$M p (β)$ qua $A (3; 2; - 1)$ song song với $m p (α)$ nên $(β)$ có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó $(β)$ : $(x - 3) - 5 (y - 2) + (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 5 y + z + 8 = 0$

d) Ta có $\vec{A B} = (- 1; - 1; 1)$

$M p (α)$ : $x - y + z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{m} = (1; - 1; 1)$ .
$M p (β)$ đi qua A, B và vuông góc với $m p (α)$ nên vectơ pháp tuyến của $(β)$ vuông góc với $\vec{A B}$ và vuông góc với $\vec{m}$ nên ta có thể chọn:

$\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{m}] = (0; 2; 2)$

Vậy (P): $2 (y - 1) + 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0$

e) Mặt phẳng đi qua $M (a, b, c)$ song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\vec{k} = (0; 0; 1)$ nên có phương trình: $1 (z - c) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0$

Tương tự mặt phẳng đi qua $M (a, b, c)$ song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua $M (a, b, c)$ song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.