MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NC
Bài 15 ( SGK trang 89 Hình học 12 NC)
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua ba điểm ;
b) Đi qua hai điểm và song song với trục Oz ;
c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Giải
a) Ta có: .
Suy ra .
Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là . Mp(MNP) đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến vuông góc vói và vuông góc với nên:
(P) qua và có vectơ pháp tuyến nên (P) có phương trình:
c) Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến .
qua song song với nên có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó :
d) Ta có
: có vectơ pháp tuyến .
đi qua A, B và vuông góc với nên vectơ pháp tuyến của vuông góc với và vuông góc với nên ta có thể chọn:
Vậy (P):
e) Mặt phẳng đi qua song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là nên có phương trình:
Tương tự mặt phẳng đi qua song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.
g) Giả sử .
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
Vậy mp(ABC): .
h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm khi và chỉ khi .
Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là nên có phương trình :