Phương trình mặt phẳng NC

MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NC

Bài 15 ( SGK trang 89 Hình học 12 NC)

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm $M\left(2;0;-1\right);N\left(1;-2;3\right);P\left(0;1;2\right)$;

b) Đi qua hai điểm $A\left(1;1;-1\right);B\left(5;2;1\right)$và song song với trục Oz ;

c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với $abc\ne 0$) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(-1;-2;4\right),\overrightarrow{MP}=\left(-2;1;3\right)$.

Suy ra $\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]=\left(-10;-5;-5\right)=-5\left(2;1;1\right)$.

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right)$. Mp(MNP) đi qua $M\left(2;0;-1\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right)$ nên có phương trình là:

$2\left(x-2\right)+1\left(y-0\right)+1\left(z+1\right)=0\iff 2x+y+z-3=0$

b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ vuông góc vói $\overrightarrow{AB}=\left(4;1;2\right)$ và vuông góc với $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ nên:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{k}\right]=\left(\left|\begin{array}{c}12\\ 01\end{array}\right|;\left|\begin{array}{c}24\\ 10\end{array}\right|;\left|\begin{array}{c}41\\ 00\end{array}\right|\right)=\left(1;-4;0\right)$

(P) qua $A\left(1;1;-1\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;0\right)$ nên (P) có phương trình:

$1\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)+0\left(z+1\right)=0\iff x-4y+3=0$

c) Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: $x-5y+z=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-5;1\right)$.

$Mp\left(\beta \right)$ qua $A\left(3;2;-1\right)$ song song với $mp\left(\alpha \right)$ nên $\left(\beta \right)$ có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó $\left(\beta \right)$: $\left(x-3\right)-5\left(y-2\right)+\left(z+1\right)=0\iff x-5y+z+8=0$

d) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-1;1\right)$

$Mp\left(\alpha \right)$: $x-y+z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m}=\left(1;-1;1\right)$.
$Mp\left(\beta \right)$ đi qua A, B và vuông góc với $mp\left(\alpha \right)$ nên vectơ pháp tuyến của $\left(\beta \right)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ và vuông góc với $\overrightarrow{m}$ nên ta có thể chọn:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{m}\right]=\left(0;2;2\right)$

Vậy (P): $2\left(y-1\right)+2\left(z-1\right)=0\iff y+z-2=0$

e) Mặt phẳng đi qua $M\left(a,b,c\right)$ song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ nên có phương trình: $1\left(z-c\right)=0\iff z-c=0$

Tương tự mặt phẳng đi qua $M\left(a,b,c\right)$ song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua $M\left(a,b,c\right)$ song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

g) Giả sử $A\left(a;0;0\right),B\left(0,b,0\right),C\left(0,0,c\right)$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

$\frac{a+0+0}{3}=1;\frac{0+b+0}{3}=2;\frac{0+0+c}{3}=3\Rightarrow a=3;b=6;c=9$

Vậy mp(ABC): $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$.

h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm $\Delta ABC$ khi và chỉ khi $OH\perp mp\left(ABC\right)$.

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OH}=\left(2;1;1\right)$ nên có phương trình :

$2\left(x-2\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)=0\iff 2x+y+z-6=0$