Phương trình mặt phẳng NC

MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NC

Bài 15 ( SGK trang 89 Hình học 12 NC)

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm $M (2; 0; - 1); N (1; - 2; 3); P (0; 1; 2)$ ;

b) Đi qua hai điểm $A (1; 1; - 1); B (5; 2; 1)$ và song song với trục Oz ;

c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với $a b c \neq 0$ ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: $\vec{M N} = (- 1; - 2; 4), \vec{M P} = (- 2; 1; 3)$ .

Suy ra $[\vec{M N}, \vec{M P}] = (- 10; - 5; - 5) = - 5 (2; 1; 1)$ .

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là $\vec{n} = (2; 1; 1)$ . Mp(MNP) đi qua $M (2; 0; - 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 1; 1)$ nên có phương trình là:

$2 (x - 2) + 1 (y - 0) + 1 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y + z - 3 = 0$

b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc vói $\vec{A B} = (4; 1; 2)$ và vuông góc với $\vec{k} = (0; 0; 1)$ nên:

$\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{k}] = (| \begin{matrix} 1 2 \\ 0 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 4 \\ 1 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 4 1 \\ 0 0 \end{matrix} |) = (1; - 4; 0)$

(P) qua $A (1; 1; - 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 4; 0)$ nên (P) có phương trình:

$1 (x - 1) - 4 (y - 1) + 0 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 4 y + 3 = 0$

c) Mặt phẳng $(α)$ : $x - 5 y + z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 5; 1)$ .

$M p (β)$ qua $A (3; 2; - 1)$ song song với $m p (α)$ nên $(β)$ có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó $(β)$ : $(x - 3) - 5 (y - 2) + (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 5 y + z + 8 = 0$

d) Ta có $\vec{A B} = (- 1; - 1; 1)$

$M p (α)$ : $x - y + z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{m} = (1; - 1; 1)$ .
$M p (β)$ đi qua A, B và vuông góc với $m p (α)$ nên vectơ pháp tuyến của $(β)$ vuông góc với $\vec{A B}$ và vuông góc với $\vec{m}$ nên ta có thể chọn:

$\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{m}] = (0; 2; 2)$

Vậy (P): $2 (y - 1) + 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0$

e) Mặt phẳng đi qua $M (a, b, c)$ song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\vec{k} = (0; 0; 1)$ nên có phương trình: $1 (z - c) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0$

Tương tự mặt phẳng đi qua $M (a, b, c)$ song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua $M (a, b, c)$ song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

g) Giả sử $A (a; 0; 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c)$ .

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

$\frac{a + 0 + 0}{3} = 1; \frac{0 + b + 0}{3} = 2; \frac{0 + 0 + c}{3} = 3 \Rightarrow a = 3; b = 6; c = 9$

Vậy mp(ABC): $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ .

h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm $Δ A B C$ khi và chỉ khi $O H ⊥ m p (A B C)$ .

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là $\vec{O H} = (2; 1; 1)$ nên có phương trình :

$2 (x - 2) + (y - 1) + (z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y + z - 6 = 0$

Đăng ký tư vấn

Đăng ký:
Họ và tên học sinh (*)
Ngày sinh
Địa chỉ liên hệ(*)
Họ và tên phụ huynh(*)
Điện thoại phụ huynh(*)
Lớp đăng ký(*)
Môn đăng ký(*)	Toán Văn Anh Lý Hóa
Ghi chú
Đang gửi dữ liệu...