Ôn tập nguyên hàm, tích phân, ứng dụng

Đăng lúc: Thứ sáu - 19/01/2018 03:47 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài - Chuyên mục : Đã xem: 260

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học ôn tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

Bài 41 ( SGK trang 175 Giải tích 12 NC)

a) $y = 2 x (1 - x^{- 3});$ b) $y = 8 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{4}}};$
c) $y = x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{3}{2}} + 1);$ d) $y = \frac{\sin (2 x + 1)}{\cos^{2} (2 x + 1)};$

Giải

a) $\int 2 x (1 - x^{- 3}) d x = \int (2 x - 2 x^{- 2}) d x = x^{2} + \frac{2}{x} + C$

b) $\int (8 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{4}}}) d x = \int (8 x - 2 x^{- \frac{1}{4}}) d x = 4 x^{2} - \frac{8}{3} x^{\frac{3}{4}} + C$

c) Đặt

$\begin{aligned} u = x^{\frac{3}{2}} + 1 \Rightarrow d u = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} d x \Rightarrow x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} d u \\ \int x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{3}{2}} + 1) d x = \frac{2}{3} \int \sin u d u = - \frac{2}{3} \cos u + C = - \frac{2}{3} \cos (x^{\frac{3}{2}} + 1) + C \end{aligned}$

d) Đặt $u = \cos (2 x + 1) \Rightarrow d u = - 2 \sin (2 x + 1) d x \Rightarrow \sin (2 x + 1) d x = - \frac{1}{2} d u$

Do đó $\int \frac{\sin (2 x + 1)}{\cos^{2} (2 x + 1)} d x = - \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u^{2}} = \frac{1}{2 u} + C = \frac{1}{2 \cos (2 x + 1)} + C$

Bài 42 ( SGK trang 175 Giải tích 12 NC)

a) $y = \frac{1}{x^{2}} \cos (\frac{1}{x} - 1)$ ; b) $y = x^{3} {(1 + x^{4})}^{3}$ ;
c) $y = \frac{x e^{2 x}}{3}$ ; d) $y = x^{2} e^{x}$ .

Giải

a) Đặt $u = \frac{1}{x} - 1 \Rightarrow d u = - \frac{1}{x^{2}} d x \Rightarrow \frac{d x}{x^{2}} = - d u$
Do đó $\int \frac{1}{x^{2}} \cos (\frac{1}{x} - 1) d x = - \int \cos u d u = - \sin u + C = - \sin (\frac{1}{x} - 1) + C$

b) Đặt $u = 1 + x^{4} \Rightarrow d u = 4 x^{3} d x \Rightarrow x^{3} d x = \frac{d u}{4}$

$\int x^{3} {(1 + x^{4})}^{3} d x = \frac{1}{4} \int u^{3} d u = \frac{u^{4}}{16} + C = \frac{1}{16} {(1 + x^{4})}^{4} + C$

c) Đặt

${\begin{matrix} u = \frac{x}{3} \\ d v = e^{2 x} d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = \frac{1}{3} d x \\ v = \frac{1}{2} e^{2 x} \end{matrix}$