Ôn tập nguyên hàm, tích phân, ứng dụng

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

Bài 41 ( SGK trang 175 Giải tích 12 NC)

a) $y = 2 x (1 - x^{- 3});$ b) $y = 8 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{4}}};$
c) $y = x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{3}{2}} + 1);$ d) $y = \frac{\sin (2 x + 1)}{\cos^{2} (2 x + 1)};$

Giải

a) $\int 2 x (1 - x^{- 3}) d x = \int (2 x - 2 x^{- 2}) d x = x^{2} + \frac{2}{x} + C$

b) $\int (8 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{4}}}) d x = \int (8 x - 2 x^{- \frac{1}{4}}) d x = 4 x^{2} - \frac{8}{3} x^{\frac{3}{4}} + C$

c) Đặt

$\begin{aligned} u = x^{\frac{3}{2}} + 1 \Rightarrow d u = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} d x \Rightarrow x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} d u \\ \int x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{3}{2}} + 1) d x = \frac{2}{3} \int \sin u d u = - \frac{2}{3} \cos u + C = - \frac{2}{3} \cos (x^{\frac{3}{2}} + 1) + C \end{aligned}$

d) Đặt $u = \cos (2 x + 1) \Rightarrow d u = - 2 \sin (2 x + 1) d x \Rightarrow \sin (2 x + 1) d x = - \frac{1}{2} d u$

Do đó $\int \frac{\sin (2 x + 1)}{\cos^{2} (2 x + 1)} d x = - \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u^{2}} = \frac{1}{2 u} + C = \frac{1}{2 \cos (2 x + 1)} + C$

Bài 42 ( SGK trang 175 Giải tích 12 NC)

a) $y = \frac{1}{x^{2}} \cos (\frac{1}{x} - 1)$ ; b) $y = x^{3} {(1 + x^{4})}^{3}$ ;
c) $y = \frac{x e^{2 x}}{3}$ ; d) $y = x^{2} e^{x}$ .

Giải

a) Đặt $u = \frac{1}{x} - 1 \Rightarrow d u = - \frac{1}{x^{2}} d x \Rightarrow \frac{d x}{x^{2}} = - d u$
Do đó $\int \frac{1}{x^{2}} \cos (\frac{1}{x} - 1) d x = - \int \cos u d u = - \sin u + C = - \sin (\frac{1}{x} - 1) + C$

b) Đặt $u = 1 + x^{4} \Rightarrow d u = 4 x^{3} d x \Rightarrow x^{3} d x = \frac{d u}{4}$

$\int x^{3} {(1 + x^{4})}^{3} d x = \frac{1}{4} \int u^{3} d u = \frac{u^{4}}{16} + C = \frac{1}{16} {(1 + x^{4})}^{4} + C$

c) Đặt

${\begin{matrix} u = \frac{x}{3} \\ d v = e^{2 x} d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = \frac{1}{3} d x \\ v = \frac{1}{2} e^{2 x} \end{matrix}$

Suy ra: $\int \frac{x e^{2 x}}{3} d x = \frac{1}{6} x e^{2 x} - \frac{1}{6} \int e^{2 x} d x = \frac{1}{6} x e^{2 x} - \frac{1}{12} e^{2 x} + C$

d) Đặt

${\begin{matrix} u = x^{2} \\ d v = e^{x} d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = 2 x d x \\ v = e^{x} \end{matrix}$

Suy ra $\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x$ (1)

Đặt

${\begin{matrix} u = x \\ d v = e^{x} d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = d x \\ v = e^{x} \end{matrix}$

Do đó: $\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

Từ (1) suy ra $\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C$

Đăng ký tư vấn

Đăng ký:
Họ và tên học sinh (*)
Ngày sinh
Địa chỉ liên hệ(*)
Họ và tên phụ huynh(*)
Điện thoại phụ huynh(*)
Lớp đăng ký(*)
Môn đăng ký(*)	Toán Văn Anh Lý Hóa
Ghi chú
Đang gửi dữ liệu...