Ôn tập chương khối đa diện và thể tích của chúng NC

Đăng lúc: Thứ bảy - 20/01/2018 03:59 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài - Chuyên mục : Đã xem: 58

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa dạy tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học ôn tập chương khối đa diện và thể tích của chúng NC

ÔN TẬP CHƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG NC

Bài 1 ( SGK trang 30 Hình học 12 NC)

Cho tứ diện $A B C D$ có thể tích bằng $V$ . Gọi $B^{'}$ và $D^{'}$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $A D$ . Mặt phắng $(C B^{'} D^{'})$ chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần đó.

Mp $(C B^{'} D^{'})$ chia khối tứ diện thành hai khối chóp $C . A B^{'} D^{'}$ và $C . B B^{'} D^{'} D$ . Hai khối chóp này có chiều cao bằng nhau.
Mặt khác: $S_{A B^{'} D^{'}} = \frac{1}{4} S_{A B D} \Rightarrow V_{C . A B^{'} D^{'}} = \frac{1}{4} V$
Do đó $V_{C . B B^{'} D^{'} D} = \frac{3}{4} V$

Bài 2 ( SGK trang 30 Hình học 12)

Cho khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Chứng minh rằng sáu trung điểm của sáu cạnh $A B, B C, C C^{'}, C^{'} D^{'}, D^{'} A^{'}$ và $A^{'} A$ nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Giải

Gọi $M, N, I, J, K, E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, B C, C C^{'}, C^{'} D^{'}, D^{'} A^{'}, A^{'} A$ của khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ tâm $O$ .
Ta có $O$ là tâm hình bình hành $A B C^{'} D^{'}$ nên $M, O, J$ thẳng hàng ( $O$ là trung điểm của $M J$ ). Mặt khác ba đường thẳng $M N, E I$ và $K J$ đôi một song song với nhau (vì cung song song với $A C$ ) nên chúng đồng phẳng.
Vậy $6$ điểm $M, N, I, J, K, E$ cùng nằm trên một mặt phẳng $(α)$ .
Mp $(α)$ chia khối hộp thành hai khối đa diện khối thứ nhất có các đỉnh $M, N, I, J, K, E, A, C, D, D^{'}$ , khối thứ hai có các đỉnh $M, N, I, J, K, E, C^{'}, A^{'}, B, B^{'}$ .
Phép đối xứng qua điểm $O$ biến tập hợp đỉnh của khối đa diện thứ nhất thành tập hợp đỉnh của khối đa diện thứ hai. Suy ra hai khối đa diện đó bằng nhau và do đó có thể tích bằng nhau.