Một số phương pháp tích phân NC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN NC

Bài 17 ( SGK trang 161 Giải tích 12 NC)

Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

a) $\int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} d x;$ b) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x}{\cos^{2} x} d x;$

c) $\int_{0}^{1} t^{3} {(1 + t^{4})}^{3} d t;$ d) $\int_{0}^{1} \frac{5 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} d x;$

e) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x;$ f) $\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos 3 x) \sin 3 x d x .$

Giải

a) Đặt $u = \sqrt{x + 1} \Rightarrow u^{2} = x + 1 \Rightarrow 2 u d u = d x .$

Đổi cận

$\int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} d x = \int_{1}^{\sqrt{2}} u .2 u d u = 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{2} d u = {2. \frac{u^{3}}{3} |}_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{2}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

b) Đặt $u = \tan x \Rightarrow d u = \frac{d x}{\cos^{2} x}$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x}{\cos^{2} x} d x = \int_{0}^{1} u d u = {\frac{u^{2}}{2} |}_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

c) Đặt $u = 1 + t^{4} \Rightarrow d u = 4 t^{3} d t \Rightarrow t^{3} d t = \frac{d u}{4}$

$\int_{0}^{1} t^{3} (1 + t^{4}) d t = \frac{1}{4} \int_{1}^{2} u^{3} d u = {\frac{1}{4} \frac{u^{4}}{4} |}_{1}^{2} = \frac{1}{16} (16 - 1) = \frac{15}{16}$

d) Đặt $u = x^{2} + 4 \Rightarrow d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u$

$\int_{0}^{1} \frac{5 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} d x = \frac{5}{2} \int_{4}^{5} \frac{d u}{u^{2}} = {\frac{5}{2} (- \frac{1}{u}) |}_{4}^{5} = \frac{1}{8}$

e) Đặt $u = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow u^{2} = x^{2} + 1 \Rightarrow u d u = x d x$

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = 4 \int_{1}^{2} \frac{u d u}{u} = {4 u |}_{1}^{2} = 4$

f) Đặt $u = 1 - \cos 3 x \Rightarrow d u = 3 \sin 3 x d x \Rightarrow \sin 3 x d x = \frac{1}{3} d u$

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos 3 x) \sin 3 x d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} {u d u = \frac{u^{2}}{6} |}_{0}^{1} = \frac{1}{6}$

Bài 18 ( SGK trang 161 Giải tích 12 NC)

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

a) $\int_{1}^{2} x^{5} \ln x d x;$ b) $\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} d x;$

c) $\int_{0}^{π} e^{x} \cos x d x;$ d) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x .$

Giải

a) Đặt

${\begin{matrix} u = \ln x \\ d v = x^{5} d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = \frac{d x}{x} \\ v = \frac{x^{6}}{6} \end{matrix}$

$\int_{1}^{2} x^{5} \ln x d x = {\frac{x^{6}}{6} \ln x |}_{1}^{2} - \frac{1}{6} \int_{1}^{2} x^{5} d x = {(\frac{x^{6}}{6} \ln x - \frac{x^{6}}{36}) |}_{1}^{2} = \frac{32}{3} \ln 2 - \frac{7}{4}$

b) Đặt

${\begin{matrix} u = x + 1 \\ d v = e^{x} d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = d x \\ v = e^{x} \end{matrix}$

$\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} d x = {(x + 1) e^{x} |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e$

c) Đặt $I = \int_{0}^{π} e^{x} \cos x d x$

Đặt

${\begin{matrix} u = e^{x} \\ d v = \cos x d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = e^{x} d x \\ v = s i n x \end{matrix}$

Suy ra $I = {e^{x} s i n x |}_{0}^{π} - \int_{0}^{π} e^{x} \sin x d x = - \int_{0}^{π} e^{x} \sin x d x$

Đặt

${\begin{matrix} u = e^{x} \\ d v = \sin x d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = e^{x} d x \\ v = - \cos x \end{matrix}$

Do đó $I = - [{(- e^{x} \cos x) |}_{0}^{π} + \int_{0}^{π} e^{x} \cos x d x] = e^{π} \cos π - e^{0} . \cos 0 - I$

$\Rightarrow 2 I = - e^{π} - 1 \Rightarrow I = - \frac{1}{2} (e^{π} + 1)$

b) Đặt

${\begin{matrix} u = x \\ d v = \cos x d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = d x \\ v = s i n x \end{matrix}$

Do đó $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x = {x \sin x |}_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = {(x \sin x + \cos x) |}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{2} - 1$

Đăng ký tư vấn

Đăng ký:
Họ và tên học sinh (*)
Ngày sinh
Địa chỉ liên hệ(*)
Họ và tên phụ huynh(*)
Điện thoại phụ huynh(*)
Lớp đăng ký(*)
Môn đăng ký(*)	Toán Văn Anh Lý Hóa
Ghi chú
Đang gửi dữ liệu...