Một số phương pháp tích phân NC

Đăng lúc: Thứ sáu - 19/01/2018 03:30 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài - Chuyên mục : Đã xem: 61

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học một số phương pháp tích phân nâng cao

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN NC

Bài 17 ( SGK trang 161 Giải tích 12 NC)

Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

a) $\int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} d x;$ b) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x}{\cos^{2} x} d x;$

c) $\int_{0}^{1} t^{3} {(1 + t^{4})}^{3} d t;$ d) $\int_{0}^{1} \frac{5 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} d x;$

e) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x;$ f) $\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos 3 x) \sin 3 x d x .$

Giải

a) Đặt $u = \sqrt{x + 1} \Rightarrow u^{2} = x + 1 \Rightarrow 2 u d u = d x .$

Đổi cận

$\int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} d x = \int_{1}^{\sqrt{2}} u .2 u d u = 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{2} d u = {2. \frac{u^{3}}{3} |}_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{2}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

b) Đặt $u = \tan x \Rightarrow d u = \frac{d x}{\cos^{2} x}$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x}{\cos^{2} x} d x = \int_{0}^{1} u d u = {\frac{u^{2}}{2} |}_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

c) Đặt $u = 1 + t^{4} \Rightarrow d u = 4 t^{3} d t \Rightarrow t^{3} d t = \frac{d u}{4}$

$\int_{0}^{1} t^{3} (1 + t^{4}) d t = \frac{1}{4} \int_{1}^{2} u^{3} d u = {\frac{1}{4} \frac{u^{4}}{4} |}_{1}^{2} = \frac{1}{16} (16 - 1) = \frac{15}{16}$

d) Đặt $u = x^{2} + 4 \Rightarrow d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u$

$\int_{0}^{1} \frac{5 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} d x = \frac{5}{2} \int_{4}^{5} \frac{d u}{u^{2}} = {\frac{5}{2} (- \frac{1}{u}) |}_{4}^{5} = \frac{1}{8}$

e) Đặt $u = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow u^{2} = x^{2} + 1 \Rightarrow u d u = x d x$

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = 4 \int_{1}^{2} \frac{u d u}{u} = {4 u |}_{1}^{2} = 4$

f) Đặt $u = 1 - \cos 3 x \Rightarrow d u = 3 \sin 3 x d x \Rightarrow \sin 3 x d x = \frac{1}{3} d u$

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos 3 x) \sin 3 x d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} {u d u = \frac{u^{2}}{6} |}_{0}^{1} = \frac{1}{6}$

Bài 18 ( SGK trang 161 Giải tích 12 NC)

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

a) $\int_{1}^{2} x^{5} \ln x d x;$ b) $\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} d x;$

c) $\int_{0}^{π} e^{x} \cos x d x;$ d) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x .$

Giải

a) Đặt

${\begin{matrix} u = \ln x \\ d v = x^{5} d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = \frac{d x}{x} \\ v = \frac{x^{6}}{6} \end{matrix}$

$\int_{1}^{2} x^{5} \ln x d x = {\frac{x^{6}}{6} \ln x |}_{1}^{2} - \frac{1}{6} \int_{1}^{2} x^{5} d x = {(\frac{x^{6}}{6} \ln x - \frac{x^{6}}{36}) |}_{1}^{2} = \frac{32}{3} \ln 2 - \frac{7}{4}$

b) Đặt

${\begin{matrix} u = x + 1 \\ d v = e^{x} d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = d x \\ v = e^{x} \end{matrix}$

$\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} d x = {(x + 1) e^{x} |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e$

c) Đặt $I = \int_{0}^{π} e^{x} \cos x d x$

Đặt

${\begin{matrix} u = e^{x} \\ d v = \cos x d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = e^{x} d x \\ v = s i n x \end{matrix}$

Suy ra $I = {e^{x} s i n x |}_{0}^{π} - \int_{0}^{π} e^{x} \sin x d x = - \int_{0}^{π} e^{x} \sin x d x$

Đặt

${\begin{matrix} u = e^{x} \\ d v = \sin x d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = e^{x} d x \\ v = - \cos x \end{matrix}$

Do đó $I = - [{(- e^{x} \cos x) |}_{0}^{π} + \int_{0}^{π} e^{x} \cos x d x] = e^{π} \cos π - e^{0} . \cos 0 - I$

$\Rightarrow 2 I = - e^{π} - 1 \Rightarrow I = - \frac{1}{2} (e^{π} + 1)$

b) Đặt

${\begin{matrix} u = x \\ d v = \cos x d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = d x \\ v = s i n x \end{matrix}$

Do đó $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x = {x \sin x |}_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = {(x \sin x + \cos x) |}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{2} - 1$