MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN NC
Bài 17 ( SGK trang 161 Giải tích 12 NC)
Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) 1∫0√x+1dx;∫01x+1dx; b) π4∫0tanxcos2xdx;∫0π4tanxcos2xdx;
c) 1∫0t3(1+t4)3dt;∫01t3(1+t4)3dt; d) 1∫05x(x2+4)2dx;∫015x(x2+4)2dx;
e) √3∫04x√x2+1dx;∫034xx2+1dx; f) π6∫0(1−cos3x)sin3xdx.∫0π6(1−cos3x)sin3xdx.
Giải
a) Đặt u=√x+1⇒u2=x+1⇒2udu=dx.u=x+1⇒u2=x+1⇒2udu=dx.
Đổi cận
1∫0√x+1dx=√2∫1u.2udu=2√2∫1u2du=2.u33∣∣√21=23(2√2−1)∫01x+1dx=∫12u.2udu=2∫12u2du=2.u33|12=23(22−1)
b) Đặt u=tanx⇒du=dxcos2xu=tanx⇒du=dxcos2x

π4∫0tanxcos2xdx=1∫0udu=u22∣∣10=12∫0π4tanxcos2xdx=∫01udu=u22|01=12
c) Đặt u=1+t4⇒du=4t3dt⇒t3dt=du4u=1+t4⇒du=4t3dt⇒t3dt=du4

1∫0t3(1+t4)dt=142∫1u3du=14u44∣∣21=116(16−1)=1516∫01t3(1+t4)dt=14∫12u3du=14u44|12=116(16−1)=1516
d) Đặt u=x2+4⇒du=2xdx⇒xdx=12duu=x2+4⇒du=2xdx⇒xdx=12du

1∫05x(x2+4)2dx=525∫4duu2=52(−1u)∣∣54=18∫015x(x2+4)2dx=52∫45duu2=52(−1u)|45=18
e) Đặt u=√x2+1⇒u2=x2+1⇒udu=xdxu=x2+1⇒u2=x2+1⇒udu=xdx

√3∫04x√x2+1dx=42∫1uduu=4u|21=4∫034xx2+1dx=4∫12uduu=4u|12=4
f) Đặt u=1−cos3x⇒du=3sin3xdx⇒sin3xdx=13duu=1−cos3x⇒du=3sin3xdx⇒sin3xdx=13du

π6∫0(1−cos3x)sin3xdx=131∫0udu=u26∣∣10=16
Bài 18 ( SGK trang 161 Giải tích 12 NC)
Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
a) 2∫1x5lnxdx;∫12x5lnxdx; b) 1∫0(x+1)exdx;∫01(x+1)exdx;
c) π∫0excosxdx;∫0πexcosxdx; d) π2∫0xcosxdx.∫0π2xcosxdx.
Giải
a) Đặt
{u=lnxdv=x5dx⇒{du=dxxv=x66{u=lnxdv=x5dx⇒{du=dxxv=x66
2∫1x5lnxdx=x66lnx∣∣21−162∫1x5dx=(x66lnx−x636)∣∣21=323ln2−74∫12x5lnxdx=x66lnx|12−16∫12x5dx=(x66lnx−x636)|12=323ln2−74
b) Đặt
{u=x+1dv=exdx⇒{du=dxv=ex{u=x+1dv=exdx⇒{du=dxv=ex
1∫0(x+1)exdx=(x+1)ex|10−1∫0exdx=e∫01(x+1)exdx=(x+1)ex|01−∫01exdx=e
c) Đặt I=π∫0excosxdxI=∫0πexcosxdx
Đặt
{u=exdv=cosxdx⇒{du=exdxv=sinx{u=exdv=cosxdx⇒{du=exdxv=sinx
Suy ra I=exsinx|π0−π∫0exsinxdx=−π∫0exsinxdxI=exsinx|0π−∫0πexsinxdx=−∫0πexsinxdx
Đặt
{u=exdv=sinxdx⇒{du=exdxv=−cosx{u=exdv=sinxdx⇒{du=exdxv=−cosx
Do đó I=−[(−excosx)|π0+π∫0excosxdx]=eπcosπ−e0.cos0−II=−[(−excosx)|0π+∫0πexcosxdx]=eπcosπ−e0.cos0−I
⇒2I=−eπ−1⇒I=−12(eπ+1)⇒2I=−eπ−1⇒I=−12(eπ+1)
b) Đặt
{u=xdv=cosxdx⇒{du=dxv=sinx{u=xdv=cosxdx⇒{du=dxv=sinx
Do đó π2∫0xcosxdx=xsinx|π20−π2∫0sinxdx=(xsinx+cosx)|π20=π2−1