Một số bài toán thường gặp về đồ thị NC

 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài  - Chuyên mục :  Đã xem: 121 

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học một số bài toán thường gặp về đồ thị NC

 

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ NC

Bài 57 ( SGK trang 55 Giải tích 12)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

f(x)=2x3+3x2+1

b) Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parabol:

(P):g(x)=2x2+1

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại mỗi giao điểm của chúng.

d) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (C).

Giải

a) Tập xác định: D=R

f′(x)=6x2+6x

f′(x)=0⇔[x=0x=−1

Bảng biến thiên:

- Hàm số đông biến trên (−∞;−1) và (0;+∞)

- Hàm số nghịch biến trên (−1;0)

- Hàm số đạt cực tại x=−1;yCĐ=2

- Hàm số đạt cực tiểu tại x=0;yCT=1

limx→±∞⁡y=±∞

Đồ thị giao trục Oy tại điểm (0;1)

b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và paraobol (P) là nghiệm của phương trình:

2x3+3x2+1=2x2+1⇔2x3+x2=0⇔x2(2x+1)=0⇔[x=0x=−12

Với x=0 ta có y=1; với x=−12 ta có y=32

Ta có giao điểm A(0;1) và B(−12;32)

c) f′(x)=6x2+6x;g′(x)=4x

f′(0)=0;g′(0)=0.

Đường thẳng y=1 là tiếp tuyến chung của (C) và (P) tại điểm A(0;1).

f′(−12)=−32. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B là: 

y=−32(x+12)+32 hay y=−32x+34

g′(−12)=−2. Phương trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm B là:

y=−2(x+12)+32hayy=−2x+12

d) Xét hiệu f(x)−g(x)=2x3+3x2+1−2x2−1=2x3+x2=x2(2x+1)

Xét dấu f(x)−g(x):

Trên khoảng (−∞;−12) (C) nằm phía dưới (P)

Trên các khoảng (−12;0) và (0;+∞) (C) nằm phía trên (P).


Bài 58 ( SGK trang 55 Giải tích 12 NC)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=2x−1x+1
b) Với các giá nào của m, đường thẳng (dm) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho:
• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Giải

a) Tập xác đinh: D=R∖{−1}

y′=3(x+1)2>0∀x∈D

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn

limx→±∞⁡y=2 

Tiệm cận đứng y=2

limx→1−⁡y=+∞limx→1+⁡y=−∞

Tiệm cận đứng: x=−1

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao Ox tại điểm (12;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;−1)

b) Phương trình đường thẳng (dm) qua điểm A(−2;2) có hệ số góc m là:

y−2=m(x+2)hayy=mx+2m+2

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (dm) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

mx+2m+2=2x−1x+1⇔(mx+2m+2)(x+1)=2x−1(1)⇔f(x)=mx2+3mx+2m+3=0(2)

(vì x=−1 không là nghiệm của (1))

• Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, tức là

{m≠0Δ=m2−12m>0⇔m<0 hoặc m>12(∗)

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng x=−1 của đồ thị.
Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1<−1<x2

⇔x1+1<0<x2+1⇔(x1+1)(x2+1)<0⇔x1.x2+x1+x2+1<0⇔2m+3m−3mm+1<0⇔3m<0(thỏa mãn diều kiện (*))

Vậy với m<0 thì (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.



 


 
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  Ẩn/Hiện ý kiến

Mã chống spam   

Những tin mới hơn

 

Những tin cũ hơn

Thời điểm thi THPT QG

Bạn muốn tổ chức thi thử vào THPT QG khi nào?

Top