Mặt cầu khối cầu Hình học 12 NC

Đăng lúc: Thứ bảy - 20/01/2018 04:52 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài - Chuyên mục : Đã xem: 76

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học mặt cầu khối cầu Hình học 12 NC

MẶT CẦU KHỐI CẦU HÌNH HỌC 12 NC

Bài 1 ( SGK trang 45 Hình học 12 NC)

Trong không gian cho ba đoạn thẳng $A B, B C, C D$ sao cho $A B ⊥ B C, B C ⊥ C D, C D ⊥ A B$ . Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm $A, B, C, D$ . Tính bán kính mặt cầu đó nếu $A B = a, B C = b, C D = c$ .

Giải

Vì $A B ⊥ B C$ và $A B ⊥ C D$ nên $A B ⊥ (B C D)$ . Suy ra $A B ⊥ B D$

Vì $C D ⊥ B C$ và $C D ⊥ A B$ nên $C D ⊥ (A B C) \Rightarrow C D ⊥ A C$

Gọi $I$ là trung điểm $A D$ , ta có $I B = I A = I D = I C$ nên các điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $A D$ .

Mặt khác ta có: $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} = A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Do đó bán kính mặt cầu là $R = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Bài 2 ( SGK trang 45 Hình học 12 NC)

a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt $A, B$ cho trước.

b) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt $A, B, C$ cho trước.

c) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước.

d) Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn.

Giải

a) $I$ là tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt $A, B$ cho trước khi và chỉ khi $I A = I B$ . Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ .

b) $I$ là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt $A, B, C$ cho trước khi và chỉ khi $I A = I B = I C$ . Vậy:

+ Nếu ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng thì tập hợp các điểm $I$ là trục của đường trong ngoại tiếp tam giác $A B C$ .

+ Nếu ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng thì tập hợp các điểm $I$ là rỗng.

c) $I$ là tâm của mặt cầu đi qua đường tròn $(C)$ cho trước khi và chỉ khi $I$ cách đều mọi điểm của đường tròn. Vậy tập hợp các điểm $I$ là trục của đường tròn $(C)$ .

d) Gọi $M$ là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ . Lấy điểm $A$ nằm trên $(C)$ và gọi $I$ là giao điểm của trục đường tròn và mặt phẳng trung trực của $M A$ . Khi đó mặt cầu tâm $I$ , bán kính $R = I A = I M$ là mặt cầu đi qua đường tròn $(C)$ và đi qua điểm $M$ .