Mặt cầu Hình học 12 LT

MẶT CẦU HÌNH HỌC 12 LT

1. Định nghĩa: Tâph hợp các điểm trong không gian cách điểm $O$ cố định một khoảng không đổi $r(r>0)$ được gọi là một mặt cầu tâm $O$ bán kính $r$.

$S(O;r)=\left\{M|OM=r\right\}$

* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.

* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

* Cho mặt cầu $S(O;r)$ và điểm $A$ trong không gian.

- Nếu $OA=r$ thì điểm $A$ nằm trên mặt cầu

- Nếu $OA<r$ thì điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

- Nếu $OA>r$ thì điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất: Nếu điểm $A$ ngoài mặt cầu $S(O;r)$ thì:

- Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt càu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu $S(O;r)$ tâm $O$ bán kính $r$ và mặt phẳng $\left(P\right)$; $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên mặt phẳng $\left(P\right)$. Khi đó $h=OH$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$. Khi đó $h=OH$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$.

- Nếu $h=r$ thì $\left(P\right)$ tiếp xúc mặt cầu.

- Nếu $h>r$ thì $\left(P\right)$ không có điểm chung với mặt cầu.

- Nếu $h<r$ thì $\left(P\right)$ giao mặt cầu $S(O;r)$ theo một đường tròn tâm $H$, bán kính

$r=\sqrt{r^2-h^2}$ nằm trên mặt phẳng $\left(P\right)$.

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu $S(O;r)$ và đường thẳng $\Delta$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ lên $\Delta$, đặt $h=OH$. Thế thì:

- Khi $h=r$ ta có đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với mặt cầu tại $H$.

- Khi $h<r$: đường thẳng $\Delta$ cắt mặt cầu tại hai điểm $A,B$ mà độ dài  $AB=2\sqrt{r^2-h^2}$