KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT HÀM SỐ ĐA THỨC
Bài 40 ( SGK trang 43 Giải tích 12 NC)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y=x3+3x2−4y=x3+3x2−4
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
Giải
a) Tập xác đinh: D=RD=R
Sự biến thiên:
y′=3x2+6xy′=0⇔[x=0x=−2y′=3x2+6xy′=0⇔[x=0x=−2
- Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−2)(−∞;−2) và (0;+∞)(0;+∞)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2;0)(−2;0)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=−2;yCĐ=0x=−2;yCĐ=0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0;yCT=−4x=0;yCT=−4
- Giới hạn:
limx→+∞(x3+3x2−4)=+∞limx→−∞(x3+3x2−4)=−∞limx→+∞(x3+3x2−4)=+∞limx→−∞(x3+3x2−4)=−∞
y′′=6x+6y′′=0⇔x=−1y″=6x+6y″=0⇔x=−1
Điểm uốn I(−1;−2)I(−1;−2)
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điiểm I(−1;−2)I(−1;−2) làm tâm đối xứng.
b) y′(−1)=−3y′(−1)=−3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại I(−1;−2)I(−1;−2) là:
y=−3(x+1)+(−2)⇔y=−3x−5y=−3(x+1)+(−2)⇔y=−3x−5
c) Đồ thị nhận I(−1;−2)I(−1;−2) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:
y(−1+x)+y(−1−x)=2.(−2)⇔(−1+x)3+3(−1+x)2−4+(−1−x)3+3(−1−x)2−4=−4⇔−1+3x−3x2+x3+3−6x+3x2−4−1−3x−3x2−x3+3+6x+3x2−4=−4⇔−4=−4∀xy(−1+x)+y(−1−x)=2.(−2)⇔(−1+x)3+3(−1+x)2−4+(−1−x)3+3(−1−x)2−4=−4⇔−1+3x−3x2+x3+3−6x+3x2−4−1−3x−3x2−x3+3+6x+3x2−4=−4⇔−4=−4∀x
⇔I(−1;−2)⇔I(−1;−2) là tâm đối xứng của đồ thị.
