GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ NC
Bài 16 ( SGK trang 22 Giải tích 12 NC)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x)=sin4x+cos4xf(x)=sin4x+cos4x
Giải
TXĐ: D=RD=R
f(x)=(sin2x)2+(cos2x)2+2sin2xcos2x−2sin2xcos2x=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=1−12sin22xf(x)=(sin2x)2+(cos2x)2+2sin2xcos2x−2sin2xcos2x=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=1−12sin22x
Vì 0≤sin22x≤10≤sin22x≤1 nên: f(x)≤1f(x)≤1 với mọi x∈R,f(0)=1x∈R,f(0)=1. Vậy maxf(x)x∈R=1maxf(x)x∈R=1
∗f(x)≥12∗f(x)≥12 với mọi x∈R,f(π4)=1−12=12x∈R,f(π4)=1−12=12
Vậy minf(x)x∈R=12minf(x)x∈R=12.
Bài 17 ( SGK trang 22 Giải tích 12 NC)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f(x)=x2+2x−5f(x)=x2+2x−5 trên đoạn [−2;3][−2;3];
b) f(x)=x33+2x2+3x−4f(x)=x33+2x2+3x−4 trên đoạn [−4;0][−4;0];
c) f(x)=x+1xf(x)=x+1x trên đoạn (0;+∞)(0;+∞);
d) f(x)=−x2+2x+4f(x)=−x2+2x+4 trên đoạn [2;4][2;4];
e) f(x)=2x2+5x+4x+2f(x)=2x2+5x+4x+2 trên đoạn [0;1][0;1];
f) f(x)=x−1xf(x)=x−1x trên đoạn (0;2](0;2];
Giải
a) D=[−2;3];f′(x)=2x+2;f′(x)=0⇔x=−1∈[−2;3]D=[−2;3];f′(x)=2x+2;f′(x)=0⇔x=−1∈[−2;3]
Ta có: f(−2)=−5;f(−1)=−6;f(3)=10f(−2)=−5;f(−1)=−6;f(3)=10.
Vậy: minf(x)x∈[−2;3]=−6;maxf(x)=10x∈[−2;3]minf(x)x∈[−2;3]=−6;maxf(x)=10x∈[−2;3].
b)
D=[−4;0];f′(x)=x2+4x+3;f′(x)=0⇔[x=−1∈[−4;0]x=−3∈[−4;0]D=[−4;0];f′(x)=x2+4x+3;f′(x)=0⇔[x=−1∈[−4;0]x=−3∈[−4;0]
Ta có: f(−4)=−163;f(−1)=−163;f(−3)=−4;f(0)=−4f(−4)=−163;f(−1)=−163;f(−3)=−4;f(0)=−4
Vậy minf(x)x∈[−4;0]=−163;maxf(x)x∈[−4;0]=−4minf(x)x∈[−4;0]=−163;maxf(x)x∈[−4;0]=−4.
c) D=(0;+∞);f′(x)=1−1x2=x2−1x2D=(0;+∞);f′(x)=1−1x2=x2−1x2với mọi x≠0,f′(x)=0⇔x=±1x≠0,f′(x)=0⇔x=±1
x=1∈{0;+∞)x=1∈{0;+∞)
x=−1∉{0;+∞)x=−1∉{0;+∞)
minf(x)=f(1)x∈(0;+∞)=2minf(x)=f(1)x∈(0;+∞)=2. Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;+∞)(0;+∞).
d) D=[2;4];f′(x)=−2x+2;f′(x)=0⇔x=1∉[2;4]D=[2;4];f′(x)=−2x+2;f′(x)=0⇔x=1∉[2;4]
Ta có: f(2)=4;f(4)=−4f(2)=4;f(4)=−4
Vậy minf(x)x∈[2;4]=−4;minf(x)x∈[2;4]=−4; maxf(x)x∈[2;4]=4maxf(x)x∈[2;4]=4.
e)
D=[0;1];f′(x)=2x2+8x+6(x+2)2;f′(x)=0⇔[x=−1∉[0;1]x=−3∉[0;1]D=[0;1];f′(x)=2x2+8x+6(x+2)2;f′(x)=0⇔[x=−1∉[0;1]x=−3∉[0;1]
Ta có: f(0)=2;f(1)=113f(0)=2;f(1)=113
Vậy minf(x)x∈[0;1]=2;minf(x)x∈[0;1]=2; maxf(x)x∈[0;1]=113maxf(x)x∈[0;1]=113
f) D=(0;2];f′(x)=1+1x2>0D=(0;2];f′(x)=1+1x2>0 với mọi x∈(0;2];f(2)=32x∈(0;2];f(2)=32
maxf(x)x∈[0;2]=32maxf(x)x∈[0;2]=32 . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên (0;2](0;2].
