ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ NC
Bài 34 ( SGK trang 35 Giải tích 12 NC)
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) y=x−23x+2y=x−23x+2 b) y=−2x−2x+3y=−2x−2x+3
c) y=x+2−1x−3y=x+2−1x−3 d) y=x2−3x+42x+1y=x2−3x+42x+1
e) y=x+2x2−1y=x+2x2−1 f) y=xx3+1y=xx3+1
Gỉải
a) TXĐ: D=R∖{−23}D=R∖{−23}
Vì limx→+∞y=limx→+∞x+23x+2=limx→+∞1−2x3+2x=13limx→+∞y=limx→+∞x+23x+2=limx→+∞1−2x3+2x=13 và limx→−∞y=13limx→−∞y=13 nên đường thẳng y=13y=13 là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì limx→(−23)+y=−∞limx→(−23)+y=−∞ limx→(−23)−y=+∞limx→(−23)−y=+∞; nên đường thẳng x=−23x=−23 là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) TXĐ: D=R∖{−3}D=R∖{−3}
Vì limx→+∞y=limx→+∞−2−2x1+3x=−2limx→+∞y=limx→+∞−2−2x1+3x=−2 và limx→−∞y=−2limx→−∞y=−2 nên đường thẳng y=−2y=−2 là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì limx→(−3)+y=+∞limx→(−3)+y=+∞ và limx→(−3)−y=−∞limx→(−3)−y=−∞ nên đường thẳng x=−3x=−3 là tiệm cận đứng của đồ thị.
c) TXĐ: D=R∖{3}D=R∖{3}
Vì limx→3+y=−∞limx→3+y=−∞ và limx→3−y=+∞limx→3−y=+∞ nên đường thẳng x=3x=3 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: limx→+∞[y−(x+2)]=limx→+∞−1x−3=0limx→+∞[y−(x+2)]=limx→+∞−1x−3=0 và limx→−∞[y−(x+2)]=limx→−∞−1x−3=0limx→−∞[y−(x+2)]=limx→−∞−1x−3=0 nên đường thẳng y=x+2y=x+2 là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) TXĐ: D=R∖{−12}D=R∖{−12}
Vì limx→(−12)+y=+∞limx→(−12)+y=+∞ và limx→(−12)−y=−∞limx→(−12)−y=−∞ nên đường thẳng x=−12x=−12 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng y=ax+by=ax+b
a=limx→±∞yx=limx→±∞x2−3x+4x(2x+1)=12b=limx→±∞(y−x2)=limx→±∞(x2−3x+42x+1−x2)=limx→±∞−7x+82(2x+1)=−74a=limx→±∞yx=limx→±∞x2−3x+4x(2x+1)=12b=limx→±∞(y−x2)=limx→±∞(x2−3x+42x+1−x2)=limx→±∞−7x+82(2x+1)=−74
limx→(−1)−y=+∞limx→(−1)−y=+∞
Đường thẳng y=x2−74y=x2−74 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x→+∞x→+∞ và x→−∞x→−∞).
Cách khác:
Ta có: y=12.x2−3x+4x+12=12(x−72+234(x+12))y=12.x2−3x+4x+12=12(x−72+234(x+12))
Vì limx→±∞[y−(x2−74)]=limx→±∞238(x+12)=0limx→±∞[y−(x2−74)]=limx→±∞238(x+12)=0 nên đường thẳng y=x2−74y=x2−74 là tiệm cận xiên của đồ thị.
e) TXĐ: D=R∖{−1;1}D=R∖{−1;1}
* Vì limx→±∞y=0limx→±∞y=0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* limx→1+y=limx→1+x+2(x+1)(x−1)=+∞limx→1+y=limx→1+x+2(x+1)(x−1)=+∞ và limx→1−y=limx→1−x+2(x+1)(x−1)=−∞limx→1−y=limx→1−x+2(x+1)(x−1)=−∞ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* limx→(−1)+y=limx→(−1)+x+2(x+1)(x−1)=−∞limx→(−1)+y=limx→(−1)+x+2(x+1)(x−1)=−∞ và limx→(−1)−y=limx→(−1)−x+2(x+1)(x−1)=+∞limx→(−1)−y=limx→(−1)−x+2(x+1)(x−1)=+∞ nên đường thẳng x=−1x=−1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
f) TXĐ: D=R∖{−1}D=R∖{−1}
* Vì limx→±∞y=0limx→±∞y=0 nên y=0y=0 là tiệm cận ngang
* limx→(−1)+y=−∞limx→(−1)+y=−∞ và limx→(−1)−y=+∞limx→(−1)−y=+∞ nên x=−1x=−1 là tiệm cận đứng.
Bài 35 ( SGK trang 35 Giải tích 12 NC)
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a)y=2x−1x2+x−3;a)y=2x−1x2+x−3; b)x3+2x2−2xb)x3+2x2−2x
c)x3+x+1x2−1;c)x3+x+1x2−1; d)x2+x+1−5x2−2x+3d)x2+x+1−5x2−2x+3
Giải
a) TXĐ: D=R∖{0}D=R∖{0}
* Vì limx→0+y=limx→0−y=−∞limx→0+y=limx→0−y=−∞ nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* limx→±∞[y−(x−3)]=limx→±∞2x−1x2=limx→±∞(2x−1x2)=0limx→±∞[y−(x−3)]=limx→±∞2x−1x2=limx→±∞(2x−1x2)=0 nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: D=R∖{0;2}D=R∖{0;2}
* limx→0+y=limx→0+x3+2x(x−2)=−∞limx→0+y=limx→0+x3+2x(x−2)=−∞ và limx→0−y=limx→0+x3+2x(x−2)=+∞limx→0−y=limx→0+x3+2x(x−2)=+∞ nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* limx→2+y=limx→2+x3+2x(x−2)=+∞limx→2+y=limx→2+x3+2x(x−2)=+∞ và limx→2−y=limx→2−x3+2x(x−2)=−∞limx→2−y=limx→2−x3+2x(x−2)=−∞ nên x=2x=2 là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng y=ax+by=ax+b
a=limx→±∞yx=limx→±∞x3+2x3−2x2=limx→±∞1+2x31−2x=1b=limx→±∞(y−x)=limx→±∞(x3+2x2−2x−x)=limx→±∞2x2+2x2−2x=2a=limx→±∞yx=limx→±∞x3+2x3−2x2=limx→±∞1+2x31−2x=1b=limx→±∞(y−x)=limx→±∞(x3+2x2−2x−x)=limx→±∞2x2+2x2−2x=2
Đường thẳng y=x+2y=x+2 là tiệm cận xiên của đồ thị.
c) TXĐ: D=R∖{−1;1}D=R∖{−1;1}
* limx→(−1)+y=limx→(−1)+x3+x+1(x−1)(x+1)=+∞limx→(−1)+y=limx→(−1)+x3+x+1(x−1)(x+1)=+∞ và limx→(−1)−y=limx→(−1)−x3+x+1(x−1)(x+1)=−∞limx→(−1)−y=limx→(−1)−x3+x+1(x−1)(x+1)=−∞ nên x=−1x=−1 là tiệm cận đứng .
limx→1+y=limx→1+x3+x+1(x−1)(x+1)=−∞limx→1+y=limx→1+x3+x+1(x−1)(x+1)=−∞ và limx→1−y=−∞limx→1−y=−∞ nên x=1x=1 là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng y=ax+by=ax+b
a=limx→±∞yx=limx→±∞x3+x+1x(x2−1)=limx→±∞1+1x2+1x31−1x2=1b=limx→±∞(y−x)=limx→±∞(x3+x+1x2−1)=limx→±∞2x+1x2−1=0a=limx→±∞yx=limx→±∞x3+x+1x(x2−1)=limx→±∞1+1x2+1x31−1x2=1b=limx→±∞(y−x)=limx→±∞(x3+x+1x2−1)=limx→±∞2x+1x2−1=0
⇒y=x⇒y=x là tiệm cận xiên.
d) TXĐ: D=R∖{−1;35}D=R∖{−1;35}
* Vì limx→±∞y=limx→±∞1+1x+1x2−5−2x+3x2=−15limx→±∞y=limx→±∞1+1x+1x2−5−2x+3x2=−15 nên y=−15y=−15 là tiệm cận ngang.
* limx→(−1)+y=limx→(−1)+x2+x+1(x+1)(3−5x)=+∞limx→(−1)+y=limx→(−1)+x2+x+1(x+1)(3−5x)=+∞ và limx→(−1)−y=−∞limx→(−1)−y=−∞ nên x=−1x=−1 là tiệm cận đứng.
limx→(35)+y=limx→(35)+x2+x+1(x+1)(3−5x)=−∞limx→(35)+y=limx→(35)+x2+x+1(x+1)(3−5x)=−∞ và limx→(35)−y=lim
