DẠNG ƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC NC
Bài 32 ( SGK trang 207 Giải tích 12 NC)
Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính sin4φsin4φ và cos4φcos4φ theo các lũy thừa của sinφsinφ và cosφcosφ
Giải
Ta có: cos4φ+isin4φ=(cosφ+isinφ)4cos4φ+isin4φ=(cosφ+isinφ)4
=cos4φ+4(cos3φ)(isinφ)+6(cos2φ)(i2)sin2φ+4(cosφ)(i3sin3φ)+i4sin4φ=cos4φ−6cos2φsin2φ+sin4φ+(4cos3φsinφ−4cosφsin3φ)i.=cos4φ+4(cos3φ)(isinφ)+6(cos2φ)(i2)sin2φ+4(cosφ)(i3sin3φ)+i4sin4φ=cos4φ−6cos2φsin2φ+sin4φ+(4cos3φsinφ−4cosφsin3φ)i.
Từ đó: cos4φ=cos4φ−6cos2φsin2φ+sin4φcos4φ=cos4φ−6cos2φsin2φ+sin4φ
sin4φ=4cos3φsinφ−4cosφsin3φ
Bài 33 ( SGK trang 207 Giải tích 12 NC)
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: ¯¯¯z;−z;1¯¯¯z;kz(k∈R∗)z¯;−z;1z¯;kz(k∈R∗) trong mỗi trường hợp sau:
a)z=r(cosφ+isinφ)(r>0);a)z=r(cosφ+isinφ)(r>0);
b)z=1+√3i.b)z=1+3i.
Giải
a)¯¯¯z=r(cosφ−isinφ)=r(cos(−φ)+isin(−φ))−z=−r(cosφ+isinφ)=r(cos(π+φ)+isin(π+φ))1z=z¯¯¯z.z=1r(cosφ+isinφ)k.z=kr(cosφ+isinφ)nếuk>0kz=−kr(cos(π+φ)+isin(π+φ))nếuk<0a)z¯=r(cosφ−isinφ)=r(cos(−φ)+isin(−φ))−z=−r(cosφ+isinφ)=r(cos(π+φ)+isin(π+φ))1z=zz¯.z=1r(cosφ+isinφ)k.z=kr(cosφ+isinφ)nếuk>0kz=−kr(cos(π+φ)+isin(π+φ))nếuk<0
b)z=1+√3i=2(12+√32i)=2(cosπ3+isinπ3)b)z=1+3i=2(12+32i)=2(cosπ3+isinπ3)
Áp dụng câu a) ta có: ¯¯¯z=2(cos(−π3)+isin(−π3))z¯=2(cos(−π3)+isin(−π3))
−z=2(cos4π3+isin4π3);1¯¯¯z=12(cosπ3+isinπ3)−z=2(cos4π3+isin4π3);1z¯=12(cosπ3+isinπ3)
kz=2k(cosπ3+isinπ3)nếuk>0kz=−2k(cos4π3+isin4π3)nếuk<0