Dạng lượng giác của số phức NC

DẠNG ƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC NC

Bài 32 ( SGK trang 207 Giải tích 12 NC)

Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính $\sin 4 φ$ và $\cos 4 φ$ theo các lũy thừa của $\sin φ$ và $\cos φ$

Giải

Ta có: $\cos 4 φ + i \sin 4 φ = {(\cos φ + i \sin φ)}^{4}$

$\begin{aligned} = \cos^{4} φ + 4 (\cos^{3} φ) (i \sin φ) + 6 (\cos^{2} φ) (i^{2}) \sin^{2} φ + 4 (\cos φ) (i^{3} \sin^{3} φ) + i^{4} \sin^{4} φ \\ = \cos^{4} φ - 6 \cos^{2} φ \sin^{2} φ + \sin^{4} φ + (4 \cos^{3} φ \sin φ - 4 \cos φ \sin^{3} φ) i . \end{aligned}$

Từ đó: $\cos 4 φ = \cos^{4} φ - 6 \cos^{2} φ \sin^{2} φ + \sin^{4} φ$

$\sin 4 φ = 4 \cos^{3} φ \sin φ - 4 \cos φ \sin^{3} φ$

Bài 33 ( SGK trang 207 Giải tích 12 NC)

Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: $\bar{z}; - z; \frac{1}{\bar{z}}; k z (k \in R^{*})$ trong mỗi trường hợp sau:

$a) z = r (\cos φ + i \sin φ) (r > 0);$

$b) z = 1 + \sqrt{3} i .$

Giải

$\begin{aligned} a) \bar{z} = r (\cos φ - i \sin φ) = r (\cos (- φ) + i \sin (- φ)) \\ - z = - r (\cos φ + i \sin φ) = r (\cos (π + φ) + i \sin (π + φ)) \\ \frac{1}{z} = \frac{z}{\bar{z} . z} = \frac{1}{r} (\cos φ + i \sin φ) \\ k . z = k r (\cos φ + i \sin φ) nếu k > 0 \\ k z = - k r (\cos (π + φ) + i \sin (π + φ)) nếu k < 0 \end{aligned}$

$b) z = 1 + \sqrt{3} i = 2 (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

Áp dụng câu a) ta có: $\bar{z} = 2 (\cos (- \frac{π}{3}) + i \sin (- \frac{π}{3}))$

$- z = 2 (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3}); \frac{1}{\bar{z}} = \frac{1}{2} (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

$\begin{aligned} k z = 2 k (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) nếu k > 0 \\ k z = - 2 k (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3}) nếu k < 0 \end{aligned}$

Nova Eguide hướng nghiệp toàn diện, chương trình đồng hành cùng Bộ GD&ĐT.

Để chọn ngành nghề, chọn trường không bao giờ hối hận hay truy cập ngay vào website novai.vn để được hỗ trợ.

Đăng ký tư vấn

Đăng ký:
Họ và tên học sinh (*)
Ngày sinh
Địa chỉ liên hệ(*)
Họ và tên phụ huynh(*)
Điện thoại phụ huynh(*)
Lớp đăng ký(*)
Môn đăng ký(*)	Toán Văn Anh Lý Hóa
Ghi chú
Đang gửi dữ liệu...