Dạng lượng giác của số phức NC

Đăng lúc: Thứ bảy - 20/01/2018 03:07 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài - Chuyên mục : Đã xem: 215

Trung tâm Bồi dưỡng VĂn hóa Dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập bài tập và lời giải của bài học dạng lượng giác của số phức NC

DẠNG ƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC NC

Bài 32 ( SGK trang 207 Giải tích 12 NC)

Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính $\sin 4 φ$ và $\cos 4 φ$ theo các lũy thừa của $\sin φ$ và $\cos φ$

Giải

Ta có: $\cos 4 φ + i \sin 4 φ = {(\cos φ + i \sin φ)}^{4}$

$\begin{aligned} = \cos^{4} φ + 4 (\cos^{3} φ) (i \sin φ) + 6 (\cos^{2} φ) (i^{2}) \sin^{2} φ + 4 (\cos φ) (i^{3} \sin^{3} φ) + i^{4} \sin^{4} φ \\ = \cos^{4} φ - 6 \cos^{2} φ \sin^{2} φ + \sin^{4} φ + (4 \cos^{3} φ \sin φ - 4 \cos φ \sin^{3} φ) i . \end{aligned}$

Từ đó: $\cos 4 φ = \cos^{4} φ - 6 \cos^{2} φ \sin^{2} φ + \sin^{4} φ$

$\sin 4 φ = 4 \cos^{3} φ \sin φ - 4 \cos φ \sin^{3} φ$

Bài 33 ( SGK trang 207 Giải tích 12 NC)

Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: $\bar{z}; - z; \frac{1}{\bar{z}}; k z (k \in R^{*})$ trong mỗi trường hợp sau:

$a) z = r (\cos φ + i \sin φ) (r > 0);$

$b) z = 1 + \sqrt{3} i .$

Giải

$\begin{aligned} a) \bar{z} = r (\cos φ - i \sin φ) = r (\cos (- φ) + i \sin (- φ)) \\ - z = - r (\cos φ + i \sin φ) = r (\cos (π + φ) + i \sin (π + φ)) \\ \frac{1}{z} = \frac{z}{\bar{z} . z} = \frac{1}{r} (\cos φ + i \sin φ) \\ k . z = k r (\cos φ + i \sin φ) nếu k > 0 \\ k z = - k r (\cos (π + φ) + i \sin (π + φ)) nếu k < 0 \end{aligned}$

$b) z = 1 + \sqrt{3} i = 2 (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

Áp dụng câu a) ta có: $\bar{z} = 2 (\cos (- \frac{π}{3}) + i \sin (- \frac{π}{3}))$

$- z = 2 (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3}); \frac{1}{\bar{z}} = \frac{1}{2} (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

$\begin{aligned} k z = 2 k (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) nếu k > 0 \\ k z = - 2 k (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3}) nếu k < 0 \end{aligned}$