Cực trị của hàm số nâng cao

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NÂNG CAO

Bài 11 ( SGK trang 17 Giải tích 12 NC)

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+3x-1$;

b) $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+2x-10$

c) $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$;

d) $f\left(x\right)=\left|x\right|\left(x+2\right);$

e) $f\left(x\right)=\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+2$;

f) $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+3}{x-1}$

Giải

a) TXĐ: $D=R$

$f^{\prime }\left(x\right)=x^2+4x+3;f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=-3\end{array};f\left(-1\right)=-\frac{7}{3};f\left(-3\right)=-1$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-3$, giá trị cực đại của hàm số là $f\left(-3\right)=-1$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$, giá trị cực tiểu của hàm số là $f\left(-1\right)=-\frac{7}{3}$

b) TXĐ: $D=R$

$f^{\prime }\left(x\right)=x^2-2x+2>0$ với mọi $x\in R$ (vì $a>0,{\Delta }^{\prime }<0$)

Hàm số đồng biến trên $R$ , không có cực trị.
c) TXĐ: $D=R\setminus \left\{0\right\}$

$f^{\prime }\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2};f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=1;f\left(1\right)=2\\ x=-1;f\left(-1\right)=-2\end{array}$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$, giá trị cực đại $f\left(-1\right)=-2$. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=1$, giá trị cực tiểu $f\left(1\right)=2$.

d) TXĐ: $D=R$ Hàm số liên tục trên $R$

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x\left(x+2\right)x\ge 0\\ -x\left(x+2\right)x<0\end{array}$

Với $x>0:f^{\prime }\left(x\right)=2x+2>0$ với mọi $x>0$

Với $x<0:f^{\prime }\left(x\right)=-2x-2;f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=-1$

$f\left(-1\right)=1$

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, giá trị cực đại $f\left(-1\right)=1$. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$, giá trị cực tiểu $f\left(0\right)=0$

e) TXĐ: $D=R$

$f^{\prime }\left(x\right)=x^4-x^2=x^2\left(x^2-1\right)$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=0;f\left(0\right)=2\\ x=-1;f\left(-1\right)=\frac{32}{15}\\ x=1;f\left(1\right)=\frac{28}{15}\end{array}$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$, giá trị cực đại $f\left(-1\right)=\frac{32}{15}$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu $f\left(1\right)=\frac{28}{15}$

f) TXĐ: $D=R\setminus \left\{1\right\}$

$y^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-3x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=0;f\left(0\right)=-3\\ x=2;f\left(2\right)=1\end{array}$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$, giá trị cực đại $f\left(0\right)=-3$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$, giá trị cực tiểu $f\left(2\right)=1$

Bài 12 ( SGK trang 17 Giải tích 12 NC)

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=x\sqrt{4-x^2}$              b) $y=\sqrt{8-x^2}$

c) $y=x-\sin 2x+2$      d) $y=3-2\cos x-\cos 2x$

Giải

a) Tập xác định: $D=\left[-2;2\right]$

$y^{\prime }=\sqrt{4-x^2}+x.\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$y^{\prime }=0\iff 4-2x^2=0\iff x=\pm \sqrt{2}$

$y\left(-\sqrt{2}\right)=-2;y\left(\sqrt{2}\right)=2$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-\sqrt{2}$; giá trị cực tiểu $y\left(-\sqrt{2}\right)=-2$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=\sqrt{2}$; giá trị cực đại $y\left(\sqrt{2}\right)=2$

b) TXĐ: $D=\left[-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right]$

$y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{8-x^2}};y^{\prime }=0\iff x=0;y\left(0\right)=2\sqrt{2}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$, giá trị cực đại $y\left(0\right)=2\sqrt{2}$

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: $D=R$

$y^{\prime }=1-2\cos 2x;y^{\prime }=0\iff \cos 2x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z$

$y^{\prime \prime }=4\sin 2x$

* Ta có: $y^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=4\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-2\sqrt{3}<0$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z$; giá trị cực đại

$y\left(-\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=-\frac{\pi }{6}+k\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}+2$

 $y^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=4\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=2\sqrt{3}>0$.

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z$; giá trị cực tiểu:

$y\left(\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=\frac{\pi }{6}+k\pi -\frac{\sqrt{3}}{2}+2$

d) Áp dụng quy tắc 2.

$y^{\prime }=2\sin x+2\sin 2x=2\sin x\left(1+2\cos x\right);$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=k\pi \\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in Z\end{array}$

$y^{\prime \prime }=2\cos x+4\cos 2x.$
 $y^{\prime \prime }\left(k\pi \right)=2\cos k\pi +4\cos 2k\pi =2\cos k\pi +4>0$ với mọi $k\in Z$

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm $x=k\pi$, giá trị cực tiểu:

$y\left(k\pi \right)=3-2\cos k\pi -\cos 2k\pi =2-2\cos k\pi$

 $y^{\prime \prime }\left(\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \right)=2\cos \frac{2\pi }{3}+4\cos \frac{4\pi }{3}=6\cos \frac{2\pi }{3}=-3<0.$

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in Z$; giá trị cực đại:

$y\left(\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \right)=3-2\cos \frac{2\pi }{3}-\cos \frac{4\pi }{3}=\frac{9}{2}$.