CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NÂNG CAO
Bài 11 ( SGK trang 17 Giải tích 12 NC)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) f(x)=13x3+2x2+3x−1f(x)=13x3+2x2+3x−1;
b) f(x)=13x3−x2+2x−10f(x)=13x3−x2+2x−10
c) f(x)=x+1xf(x)=x+1x;
d) f(x)=|x|(x+2);f(x)=|x|(x+2);
e) f(x)=x55−x33+2f(x)=x55−x33+2;
f) f(x)=x2−3x+3x−1f(x)=x2−3x+3x−1
Giải
a) TXĐ: D=RD=R
f′(x)=x2+4x+3;f′(x)=0⇔[x=−1x=−3;f(−1)=−73;f(−3)=−1f′(x)=x2+4x+3;f′(x)=0⇔[x=−1x=−3;f(−1)=−73;f(−3)=−1
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−3x=−3, giá trị cực đại của hàm số là f(−3)=−1f(−3)=−1
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=−1x=−1, giá trị cực tiểu của hàm số là f(−1)=−73f(−1)=−73
b) TXĐ: D=RD=R
f′(x)=x2−2x+2>0f′(x)=x2−2x+2>0 với mọi x∈Rx∈R (vì a>0,Δ′<0a>0,Δ′<0)
Hàm số đồng biến trên RR , không có cực trị.
c) TXĐ: D=R∖{0}D=R∖{0}
f′(x)=1−1x2=x2−1x2;f′(x)=0⇔[x=1;f(1)=2x=−1;f(−1)=−2f′(x)=1−1x2=x2−1x2;f′(x)=0⇔[x=1;f(1)=2x=−1;f(−1)=−2
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−1x=−1, giá trị cực đại f(−1)=−2f(−1)=−2. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1x=1, giá trị cực tiểu f(1)=2f(1)=2.
d) TXĐ: D=RD=R Hàm số liên tục trên RR
f(x)={x(x+2)x≥0−x(x+2)x<0f(x)={x(x+2)x≥0−x(x+2)x<0
Với x>0:f′(x)=2x+2>0x>0:f′(x)=2x+2>0 với mọi x>0x>0
Với x<0:f′(x)=−2x−2;f′(x)=0⇔x=−1x<0:f′(x)=−2x−2;f′(x)=0⇔x=−1
f(−1)=1f(−1)=1
Hàm số đạt cực đại tại x=−1x=−1, giá trị cực đại f(−1)=1f(−1)=1. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0x=0, giá trị cực tiểu f(0)=0f(0)=0
e) TXĐ: D=RD=R
f′(x)=x4−x2=x2(x2−1)f′(x)=x4−x2=x2(x2−1)
f′(x)=0⇔⎡⎢ ⎢⎣x=0;f(0)=2x=−1;f(−1)=3215x=1;f(1)=2815f′(x)=0⇔[x=0;f(0)=2x=−1;f(−1)=3215x=1;f(1)=2815
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−1x=−1, giá trị cực đại f(−1)=3215f(−1)=3215
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1x=1, giá trị cực tiểu f(1)=2815f(1)=2815
f) TXĐ: D=R∖{1}D=R∖{1}
y′(x)=(2x−3)(x−1)−(x2−3x+3)(x−1)2=x2−2x(x−1)2y′(x)=(2x−3)(x−1)−(x2−3x+3)(x−1)2=x2−2x(x−1)2
f′(x)=0⇔[x=0;f(0)=−3x=2;f(2)=1f′(x)=0⇔[x=0;f(0)=−3x=2;f(2)=1
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0x=0, giá trị cực đại f(0)=−3f(0)=−3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=2x=2, giá trị cực tiểu f(2)=1
Bài 12 ( SGK trang 17 Giải tích 12 NC)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y=x√4−x2y=x4−x2 b) y=√8−x2y=8−x2
c) y=x−sin2x+2y=x−sin2x+2 d) y=3−2cosx−cos2xy=3−2cosx−cos2x
Giải
a) Tập xác định: D=[−2;2]D=[−2;2]
y′=√4−x2+x.−x√4−x2=4−x2−x2√4−x2=4−2x2√4−x2y′=4−x2+x.−x4−x2=4−x2−x24−x2=4−2x24−x2
y′=0⇔4−2x2=0⇔x=±√2y′=0⇔4−2x2=0⇔x=±2
y(−√2)=−2;y(√2)=2y(−2)=−2;y(2)=2
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=−√2x=−2; giá trị cực tiểu y(−√2)=−2y(−2)=−2
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=√2x=2; giá trị cực đại y(√2)=2y(2)=2
b) TXĐ: D=[−2√2;2√2]D=[−22;22]
y′=−x√8−x2;y′=0⇔x=0;y(0)=2√2y′=−x8−x2;y′=0⇔x=0;y(0)=22
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0x=0, giá trị cực đại y(0)=2√2y(0)=22
c) Áp dụng quy tắc 2.
TXĐ: D=RD=R
y′=1−2cos2x;y′=0⇔cos2x=12=cosπ3⇔x=±π6+kπ,k∈Zy′=1−2cos2x;y′=0⇔cos2x=12=cosπ3⇔x=±π6+kπ,k∈Z
y′′=4sin2xy″=4sin2x
* Ta có: y′′(π6+kπ)=4sin(−π3)=−2√3<0y″(π6+kπ)=4sin(−π3)=−23<0
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm x=−π6+kπ,k∈Zx=−π6+kπ,k∈Z; giá trị cực đại
y(−π6+kπ)=−π6+kπ+√32+2y(−π6+kπ)=−π6+kπ+32+2
y′′(π6+kπ)=4sin(π3)=2√3>0y″(π6+kπ)=4sin(π3)=23>0.
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=π6+kπ,k∈Zx=π6+kπ,k∈Z; giá trị cực tiểu:
y(π6+kπ)=π6+kπ−√32+2y(π6+kπ)=π6+kπ−32+2
d) Áp dụng quy tắc 2.
y′=2sinx+2sin2x=2sinx(1+2cosx);y′=2sinx+2sin2x=2sinx(1+2cosx);
y′=0⇔[sinx=0cosx=−12⇔[x=kπx=±2π3+2kπ,k∈Zy′=0⇔[sinx=0cosx=−12⇔[x=kπx=±2π3+2kπ,k∈Z
y′′=2cosx+4cos2x.y″=2cosx+4cos2x.
y′′(kπ)=2coskπ+4cos2kπ=2coskπ+4>0y″(kπ)=2coskπ+4cos2kπ=2coskπ+4>0 với mọi k∈Zk∈Z
Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm x=kπx=kπ, giá trị cực tiểu:
y(kπ)=3−2coskπ−cos2kπ=2−2coskπy(kπ)=3−2coskπ−cos2kπ=2−2coskπ
y′′(±2π3+k2π)=2cos2π3+4cos4π3=6cos2π3=−3<0.y″(±2π3+k2π)=2cos2π3+4cos4π3=6cos2π3=−3<0.
Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm x=±2π3+k2π,k∈Zx=±2π3+k2π,k∈Z; giá trị cực đại:
y(±2π3+k2π)=3−2cos2π3−cos4π3=92y(±2π3+k2π)=3−2cos2π3−cos4π3=92.
