Cực trị của hàm số nâng cao

 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài  - Chuyên mục :  Đã xem: 195 

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học cực trị của hàm số nâng cao

 

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NÂNG CAO

Bài 11 ( SGK trang 17 Giải tích 12 NC)

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) f(x)=13x3+2x2+3x−1;

b) f(x)=13x3−x2+2x−10

c) f(x)=x+1x;

d) f(x)=|x|(x+2);

e) f(x)=x55−x33+2;

f) f(x)=x2−3x+3x−1

Giải

a) TXĐ: D=R

f′(x)=x2+4x+3;f′(x)=0⇔[x=−1x=−3;f(−1)=−73;f(−3)=−1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−3, giá trị cực đại của hàm số là f(−3)=−1

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=−1, giá trị cực tiểu của hàm số là f(−1)=−73

b) TXĐ: D=R

f′(x)=x2−2x+2>0 với mọi x∈R (vì a>0,Δ′<0)

Hàm số đồng biến trên R , không có cực trị.
c) TXĐ: D=R∖{0}

f′(x)=1−1x2=x2−1x2;f′(x)=0⇔[x=1;f(1)=2x=−1;f(−1)=−2

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−1, giá trị cực đại f(−1)=−2. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1, giá trị cực tiểu f(1)=2.

d) TXĐ: D=R Hàm số liên tục trên R

f(x)={x(x+2)x≥0−x(x+2)x<0

Với x>0:f′(x)=2x+2>0 với mọi x>0

Với x<0:f′(x)=−2x−2;f′(x)=0⇔x=−1

f(−1)=1

Hàm số đạt cực đại tại x=−1, giá trị cực đại f(−1)=1. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0, giá trị cực tiểu f(0)=0

e) TXĐ: D=R

f′(x)=x4−x2=x2(x2−1)

f′(x)=0⇔[x=0;f(0)=2x=−1;f(−1)=3215x=1;f(1)=2815

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−1, giá trị cực đại f(−1)=3215

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, giá trị cực tiểu f(1)=2815

f) TXĐ: D=R∖{1}

y′(x)=(2x−3)(x−1)−(x2−3x+3)(x−1)2=x2−2x(x−1)2

f′(x)=0⇔[x=0;f(0)=−3x=2;f(2)=1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0, giá trị cực đại f(0)=−3

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=2, giá trị cực tiểu 



Bài 12 ( SGK trang 17 Giải tích 12 NC)

 

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y=x4−x2              b) y=8−x2

c) y=x−sin⁡2x+2      d) y=3−2cos⁡x−cos⁡2x

Giải

a) Tập xác định: D=[−2;2]

y′=4−x2+x.−x4−x2=4−x2−x24−x2=4−2x24−x2

y′=0⇔4−2x2=0⇔x=±2

y(−2)=−2;y(2)=2

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=−2; giá trị cực tiểu y(−2)=−2

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2; giá trị cực đại y(2)=2

b) TXĐ: D=[−22;22]

y′=−x8−x2;y′=0⇔x=0;y(0)=22

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0, giá trị cực đại y(0)=22

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: D=R

y′=1−2cos⁡2x;y′=0⇔cos⁡2x=12=cos⁡π3⇔x=±π6+kπ,k∈Z

y″=4sin⁡2x

* Ta có: y″(π6+kπ)=4sin⁡(−π3)=−23<0

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm x=−π6+kπ,k∈Z; giá trị cực đại

y(−π6+kπ)=−π6+kπ+32+2

 y″(π6+kπ)=4sin⁡(π3)=23>0.

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=π6+kπ,k∈Z; giá trị cực tiểu:

y(π6+kπ)=π6+kπ−32+2

d) Áp dụng quy tắc 2.

y′=2sin⁡x+2sin⁡2x=2sin⁡x(1+2cos⁡x);

y′=0⇔[sin⁡x=0cos⁡x=−12⇔[x=kπx=±2π3+2kπ,k∈Z

y″=2cos⁡x+4cos⁡2x.
 y″(kπ)=2cos⁡kπ+4cos⁡2kπ=2cos⁡kπ+4>0 với mọi k∈Z

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm x=kπ, giá trị cực tiểu:

y(kπ)=3−2cos⁡kπ−cos⁡2kπ=2−2cos⁡kπ

 y″(±2π3+k2π)=2cos⁡2π3+4cos⁡4π3=6cos⁡2π3=−3<0.

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm x=±2π3+k2π,k∈Z; giá trị cực đại:

y(±2π3+k2π)=3−2cos⁡2π3−cos⁡4π3=92.

 



 


 
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  Ẩn/Hiện ý kiến

Mã chống spam   

Những tin mới hơn

 

Những tin cũ hơn

Thời điểm thi THPT QG

Bạn muốn tổ chức thi thử vào THPT QG khi nào?

Top