Căn bậc hai của số phức NC

 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài  - Chuyên mục :  Đã xem: 153 

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học căn bậc hai của số phức NC

 

CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC NC

Bài 26 ( SGK trang 199 Giải tích 12 NC)
 

a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực φ, ta có  (cos⁡φ+isin⁡φ)2=cos⁡2φ+isin⁡2φ.

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos⁡2φ+isin⁡2φ. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

b) Tìm các căn bậc hai của 22(1−i) bằng hai cách nói ở câu a).

Giải

a) Với mọi φ ta có: (cos⁡φ+isin⁡φ)2=cos2φ−sin2φ+(2sin⁡φcos⁡φ)i

=cos⁡2φ+isin⁡2φ

Vậy các căn bậc hai của cos⁡2φ+isin⁡2φ là ±(cos⁡φ+isin⁡φ)

Theo cách giải trong bài học, để tìm căn bậc hai củacos⁡2φ+isin⁡2φ ta giải hệ phương trình{x2−y2=cos⁡2φ2xy=sin⁡2φ

Rõ ràng hệ có các nghiệm (cos⁡φ,sin⁡φ),(−cos⁡φ,−sin⁡φ) do đó±(cos⁡φ+isin⁡φ) là hai căn bậc hai củacos⁡2φ+isin⁡2φ. Ta biết rằng chỉ có hai căn như thế nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm.

b) 22(1−i)=cos⁡π4−isin⁡π4=cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4) thì theo câu a) ,22(1−i) có hai căn bậc hai là ±(cos⁡(−π8)+isin⁡(−π8))=±(cos⁡π8−isin⁡π8)

Mà cos⁡π8=1+cos⁡π42=1+222=122+2sin⁡π8=1−cos⁡π42=1−222=122−2

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là ±12(2+2−i2−2)

Còn theo bài học, việc tìm các căn bậc hai của22(1−i) đưa về việc giải hệ phương trình{x2−y2=222xy=−22

Hệ đó tương đương với {8x4−42x2−1=0y=−24x⇔{x2=2+24y=−24x

nên có các nghiệm là: (2+22;−2−22),(−2+22;2−22)

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.      


Bài 27 ( SGK trang 199 Giải tích 12 NC)

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:i;4i;4;1+43i.

Giải

* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của i, ta có:

(x+yi)2=ix2y2+2xyi=i{x2y2=0(1)2xy=1(2)

Từ (2) suy ra y=12x thế vào (1) ta được:

x214x2=0x4=14x=±12

+) Với x=12ta có y=12x=12

+) Với x=12ta có y=12x=12

Hệ có hai nghiệm là: (12,12),(12,12)

Vậy i có hai căn bậc hai là: z1=12+12i,z2=1212i

* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 4i, ta có:

(x+yi)2=4ix2y2+2xyi=4i{x2y2=0(1)xy=2(2)

Thay y=2x vào phương trình thứ nhất ta được:

x24x2=0x4=4x=±2

+) Với x=2 ta có y=2x=2;            

+) Với x=2 ta có y=2

Hệ có hai nghiệm (2;2),(2;2)

Vậy 4i có hai căn bậc hai là:z1=2+2i;        z2=22i

* Ta có 4=4i2=(2i)2 do đó 4 có hai căn bậc hai là ±2i

* Giả sử  z=x+yi là căn bậc hai của 1+43i.

(x+yi)2=1+43i

{x2y2=12xy=43y=23xx212x2{y=23xx2=4{x=2y=3hoặc {x=2y=3

Hệ có hai nghiệm (2;3),(2;3)

Vậy 1+43i có hai căn bậc hai là:z1=2+3i,



 


 
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  Ẩn/Hiện ý kiến

Mã chống spam   

Những tin mới hơn

 

Những tin cũ hơn

Thời điểm thi THPT QG

Bạn muốn tổ chức thi thử vào THPT QG khi nào?

Top