Vecto trong không gian NC

Đăng lúc: Chủ nhật - 21/01/2018 03:37 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài - Chuyên mục : Đã xem: 140

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa dạy tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học vecto trong không gian NC

VECTO TRONG KHÔNG GIAN NC

Bài 1 ( SGK trang 91 Hình học 11 NC)

Ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra ?

a. Có một vecto trong ba vecto đó bằng $\vec{0}$

b. Có hai vecto trong ba vecto đó cùng phương.

Giải:

a. Giả sử $\vec{a} = \vec{0} .$ Áp dụng định lí 1 : $\vec{a} = 0. \vec{b} + 0. \vec{c} n e n \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

b. Giả sử $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương, khi đó có số k sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{a} = k \vec{b} + 0. \vec{c}$ do đó $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

bài 2 ( SGK trang 91 Hình học 11 NC)

Cho hình chóp S.ABCD.

a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C}$ . Điều ngược lại có đúng không ?

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$

Giải

a. Ta có:

$\begin{aligned} \vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C} \\ \Leftrightarrow \vec{S B} - \vec{S C} = \vec{S A} - \vec{S D} \Leftrightarrow \vec{C B} = \vec{D A} \end{aligned}$

⇔ ABCD là hình bình hành.

b. Ta có:

$\begin{aligned} \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O} \\ \Leftrightarrow \vec{S O} + \vec{O A} + \vec{S O} + \vec{O B} + \vec{S O} + \vec{O C} + \vec{S O} + \vec{O D} = 4 \vec{S O} \\ \Leftrightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0} (*) \end{aligned}$

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ suy ra

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$ (do (*))

Ngược lại, giả sử $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O},$ ta có (*).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :

$\vec{O A} + \vec{O C} = 2 \vec{O M}, \vec{O B} + \vec{O D} = 2 \vec{O N}$

Từ (*) suy ra $2 (\vec{O M} + \vec{O N}) = \vec{0},$ điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng

Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.