Hàm số liên tục Đại số 11 NC

HÀM SỐ LIÊN TỤC ĐẠI SỐ 11 NC

Bài 46 ( SGK trang 172 Đại số và Giải tích 11 NC)

Chứng minh rằng :

a. Các hàm số $f\left(x\right)=x^3-x+3\text{và}g\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x^2+1}$ liên tục tại mọi điểm $x\in R$.

b. Hàm số  $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{x^2-3x+2}{x-2}\text{với}x\ne 2,\\ 1\text{với}x=2\end{array}$

liên tục tại điểm $x=2$

c. Hàm số  $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{x^3-1}{x-1}\text{với}x\ne 1\\ 2\text{với}x=1\end{array}$

gián đoạn tại điểm $x=1$

Giải:

a. Hàm số $f\left(x\right)=x^3-x+3$ xác định trên $R$. Với mọi $x_0\in R$, ta có:

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\left(x^3-x+3\right)=x_0^3-x_0+3=f\left(x_0\right)$

Vậy f liên tục tại điểm x₀. Do đó hàm số f liên tục trên $R$.

Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định $D=R$.

b. Với mọi $x\ne 2$, ta có:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2}=x-1$

Do đó  $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{lim}\left(x-1\right)=1=f\left(2\right)$

Vậy hàm số f liên tục tại điểm $x=2$

c) Với mọi  $x\ne 1$, ta có:

$f\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$

Do đó $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}(x^2+x+1)=3\ne 2=f\left(1\right)$

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm $x=1$

Bài 47 ( SGK trang 172 Đại sô và Giải tích 11 NC)

Chứng minh rằng :

a. Hàm số $f\left(x\right)=x^4-x^2+2$ liên tục trên $R$

b. Hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;

c. Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{8-2x^2}$ liên tục trên đoạn [-2 ; 2];

d. Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}$ liên tục trên nửa khoảng  $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

Giải:

a. Hàm số $f\left(x\right)=x^4-x^2+2$ xác định trên $R$. Với mọi $x_0\in R$ ta có:

$\underset{x\to x_0}{lim}=\underset{x\to x_0}{lim}\left(x^4-x^2+2\right)=x_0^4-x_0^2+2=f\left(x_0\right)$

Vậy f liên tục tại x₀ nên f liên tục trên $R$.

b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

$1-x^2>0\iff -1<x<1$

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi x₀ϵ (-1 ; 1), ta có :  $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x_0^2}}=f\left(x_0\right)$

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x₀. Do đó f liên tục trên khoảng  (-1 ; 1)

c. Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{8-2x^2}$ xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi $x_0\in \left(-2;2\right)$ , ta có:  $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\sqrt{8-2x_0^2}=f\left(x_0\right)$

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có :

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\sqrt{8-2{\left(-2\right)}^2}=0=f\left(-2\right)$

và $\underset{x\to {\left(2\right)}^{-}}{lim}=\sqrt{8-{2.2}^2}=0=f\left(2\right)$

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

d. Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}$ xác định trên nửa khoảng  $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

Với $x_0\in \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ ta có  $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{2x-1}=\sqrt{2x_0-1}=f\left(x_0\right)$

Nên hàm số liên tục trên khoảng  $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

Mặt khác ta có  $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{lim}\sqrt{2x-1}=0=f\left(\frac{1}{2}\right)$

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng  $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$