HÀM SỐ LIÊN TỤC ĐẠI SỐ 11 NC
Bài 46 ( SGK trang 172 Đại số và Giải tích 11 NC)
Chứng minh rằng :
a. Các hàm số f(x)=x3−x+3và g(x)=x3−1x2+1f(x)=x3−x+3và g(x)=x3−1x2+1 liên tục tại mọi điểm x∈Rx∈R.
b. Hàm số f(x)={x2−3x+2x−2 vớix≠2,1 vớix=2f(x)={x2−3x+2x−2 vớix≠2,1 vớix=2
liên tục tại điểm x=2x=2
c. Hàm số f(x)={x3−1x−1 vớix≠12 vớix=1f(x)={x3−1x−1 vớix≠12 vớix=1
gián đoạn tại điểm x=1x=1
Giải:
a. Hàm số f(x)=x3−x+3f(x)=x3−x+3 xác định trên RR. Với mọi x0∈Rx0∈R, ta có:
limx→x0f(x)=limx→x0(x3−x+3)=x30−x0+3=f(x0)limx→x0f(x)=limx→x0(x3−x+3)=x03−x0+3=f(x0)
Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên RR.
Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định D=RD=R.
b. Với mọi x≠2x≠2, ta có:
f(x)=x2−3x+2x−2=(x−1)(x−2)x−2=x−1f(x)=x2−3x+2x−2=(x−1)(x−2)x−2=x−1
Do đó limx→2f(x)=limx→2(x−1)=1=f(2)limx→2f(x)=limx→2(x−1)=1=f(2)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x=2x=2
c) Với mọi x≠1x≠1, ta có:
f(x)=x3−1x−1=x2+x+1f(x)=x3−1x−1=x2+x+1
Do đó limx→1f(x)=limx→1(x2+x+1)=3≠2=f(1)limx→1f(x)=limx→1(x2+x+1)=3≠2=f(1)
Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x=1
Bài 47 ( SGK trang 172 Đại sô và Giải tích 11 NC)
Chứng minh rằng :
a. Hàm số f(x)=x4−x2+2f(x)=x4−x2+2 liên tục trên RR
b. Hàm số f(x)=1√1−x2f(x)=11−x2 liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;
c. Hàm số f(x)=√8−2x2f(x)=8−2x2 liên tục trên đoạn [-2 ; 2];
d. Hàm số f(x)=√2x−1f(x)=2x−1 liên tục trên nửa khoảng [12;+∞)[12;+∞)
Giải:
a. Hàm số f(x)=x4−x2+2f(x)=x4−x2+2 xác định trên RR. Với mọi x0∈Rx0∈R ta có:
limx→x0=limx→x0(x4−x2+2)=x40−x20+2=f(x0)limx→x0=limx→x0(x4−x2+2)=x04−x02+2=f(x0)
Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên RR.
b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :
1−x2>0⇔−1<x<11−x2>0⇔−1<x<1
Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)
Với mọi x0ϵ (-1 ; 1), ta có : limx→x0f(x)=limx→x01√1−x2=1√1−x20=f(x0)limx→x0f(x)=limx→x011−x2=11−x02=f(x0)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng (-1 ; 1)
c. Hàm số f(x)=√8−2x2f(x)=8−2x2 xác định trên đoạn [-2 ; 2]
Với mọi x0∈(−2;2)x0∈(−2;2) , ta có: limx→x0f(x)=√8−2x20=f(x0)limx→x0f(x)=8−2x02=f(x0)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có :
limx→(−2)+f(x)=√8−2(−2)2=0=f(−2)limx→(−2)+f(x)=8−2(−2)2=0=f(−2)
và limx→(2)−=√8−2.22=0=f(2)limx→(2)−=8−2.22=0=f(2)
Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]
d. Hàm số f(x)=√2x−1f(x)=2x−1 xác định trên nửa khoảng [12;+∞)[12;+∞)
Với x0∈(12;+∞)x0∈(12;+∞) ta có limx→x0f(x)=limx→x0√2x−1=√2x0−1=f(x0)limx→x0f(x)=limx→x02x−1=2x0−1=f(x0)
Nên hàm số liên tục trên khoảng (12;+∞)(12;+∞)
Mặt khác ta có limx→12+f(x)=limx→12+√2x−1=0=f(12)limx→12+f(x)=limx→12+2x−1=0=f(12)
Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng [12;+∞)
