Dãy số có giới hạn hữu hạn NC

Đăng lúc: Thứ bảy - 20/01/2018 23:01 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài - Chuyên mục : Đã xem: 138

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học dãy số có giới hạn hữu hạn NC

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN NC

Bài 5 ( SGK trang 134 Đại số và Giải tích 11 NC)

Tìm các giới hạn sau :

a. $lim (2 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 2})$

b. $lim (\frac{\sin 3 n}{4 n} - 1)$

c. $lim \frac{n - 1}{n}$

d. $lim \frac{n + 2}{n + 1}$

Giải:

a. Đặt $u_{n} = 2 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 2}$

Ta có:

$\begin{aligned} | u_{n} - 2 | = \frac{1}{n + 2} < \frac{1}{n} và lim \frac{1}{n} = 0 \\ \Rightarrow lim (u_{n} - 2) = 0 \Rightarrow lim u_{n} = 2 \end{aligned}$

b. Đặt $u_{n} = \frac{\sin 3 n}{4 n} - 1$

Ta có:

$\begin{aligned} | u_{n} + 1 | = | \frac{\sin 3 n}{4 n} | \leq \frac{1}{4 n} và lim \frac{1}{4 n} = 0 \\ \Rightarrow lim (u_{n} + 1) = 0 \Rightarrow lim u_{n} = - 1 \end{aligned}$

c. $lim \frac{n - 1}{n} = lim (1 - \frac{1}{n}) = lim 1 - lim \frac{1}{n} = 1$

d. $lim \frac{n + 2}{n + 1} = lim \frac{n (1 + \frac{2}{n})}{n (1 + \frac{1}{n})} = lim \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{lim 1 + lim \frac{2}{n}}{lim 1 + lim \frac{1}{n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

Bài 6 ( SGK trang 134 Đại số và Giải tích 11 NC)

Tìm $lim u_{n}$ với

a. $u_{n} = \frac{n^{2} - 3 n + 5}{2 n^{2} - 1}$

b. $u_{n} = \frac{- 2 n^{2} + n + 2}{3 n^{4} + 5}$

c. $u_{n} = \frac{\sqrt{2 n^{2} - n}}{1 - 3 n^{2}}$

d. $u_{n} = \frac{4^{n}}{{2.3}^{n} + 4^{n}}$

Giải:

a. Ta có:

$\begin{aligned} lim u_{n} = lim \frac{n^{2} (1 - \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}})}{n^{2} (2 - \frac{1}{n^{2}})} = lim \frac{1 - \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}}}{2 - \frac{1}{n^{2}}} \\ = \frac{lim 1 - lim \frac{3}{n} + lim \frac{5}{n^{2}}}{lim 2 - lim \frac{1}{n^{2}}} = \frac{1 - 0 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

$lim u_{n} = lim \frac{n^{4} (\frac{- 2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} + \frac{2}{n^{4}})}{n^{4} (3 + \frac{5}{n^{4}})} = lim \frac{\frac{- 2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} + \frac{2}{n^{4}}}{3 + \frac{5}{n^{4}}} = \frac{0}{3} = 0$

${limu}_{n} = lim \frac{n^{2} \sqrt{\frac{2}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}}}}{n^{2} (\frac{1}{n^{2}} - 3)} = lim \frac{\sqrt{\frac{2}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}}}}{\frac{1}{n^{2}} - 3} = \frac{0}{- 3} = 0$