Hàm số lượng giác

 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài  - Chuyên mục :  Đã xem: 29 

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Dạy Tốt giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải của bài học hàm số lượng giác trong chương trình toán 11

 

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1 ( SGK trang 17 Đại số và Giải thích 11)

Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [−π;3π2] để hàm số y=tanx ;

a) Nhận giá trị bằng 0 ;

b) Nhận giá trị bằng 1 ;  

c) Nhận giá trị dương ;

d) Nhận giá trị âm.  

Đáp án :

a) trục hoành cắt đoạn đồ thị y=tanx (ứng với x∈ [−π;3π2]) tại ba điểm có hoành độ - π ; 0 ; π. Do đó trên đoạn [−π;3π2] chỉ có ba giá trị của x để hàm số y=tanx nhận giá trị bằng 0, đó là x=−π;x=0;x=π.

b) Đường thẳng y=1 cắt đoạn đồ thị y=tanx (ứng với x∈[−π;3π2]) tại ba điểm có hoành độ π4;π4±π . Do đó trên đoạn [−π;3π2] chỉ có ba giá trị của x để hàm số y=tanx nhận giá trị bằng 1, đó là x=−3π4;x=π4;x=5π4.

c) Phần phía trên trục hoành của đoạn đồ thị y=tanx (ứng với x∈ [−π;3π2]) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ truộc một trong các khoảng (−π;−π2)(0;π2)(π;3π2). Vậy trên đoạn [−π;3π2] , các giá trị của x để hàm số y=tanx nhận giá trị dương là x∈(−π;−π2)∪(0;π2)∪(π;3π2).

d) Phần phía dưới trục hoành của đoạn đồ thị y=tanx (ứng với x∈ [−π;3π2]) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ thuộc một trong các khoảng (−π2;0),(π2;π). Vậy trên đoạn [−π;3π2] , các giá trị của x để hàm số y=tanx nhận giá trị âm là 

Bài 2 ( SGK trang 17 Đại số và Giải tích 11)

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y=1+cosxsinx ;

b)  y=1+cosx1−cosx ;

c)  y=tan(x−π3) ;

d)  y=cot(x+π6) .

Giải:

Câu a:

Hàm số y=1+cosxsinx xác định khi sinx≠0⇔x≠kπ,k∈Z

Vậy tập xác định của hàm số là D=R∖{kπ,k∈Z}

Câu b:

Hàm số y=1+cosx1−cosx xác định khi {1+cosx1−cosx≥01−cosx≠0

⇔1−cosx>0(do  1+cosx≥0)

⇔cosx≠1⇔x≠k2π,k∈Z

Vậy tập xác định của hàm số là D=R∖{k2π,k∈Z}

Câu c:

Hàm số xác định khi cos(x−π3)≠0 xác định khi:x−π3≠π2+kπ⇔x≠5π6+kπ(k∈Z)

Vậy tập xác định của hàm số D=R∖{5π6+kπ,k∈Z}

Câu d:

Hàm số xác định khi sin(x+π6)≠0 xác định khi x+π6≠kπ⇔x≠−π6+kπ,k∈Z  

Vậy tập xác định của hàm số là  


Bài 3 ( SGK trang 17 Đại số và Giải tích 11)

Dựa vào đồ thị hàm số y=sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y=|sinx|.

Giải

 Ta có

|sinx|={sinx,sinx≥0−sinx,sinx≤0

Mà sinx<0 ⇔x∈(π+k2π,2π+k2π),k∈Z nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y=sinx trên các khoảng này còn giữ nguyên phần đồ thị hàm số y=sinx trên các đoạn còn lại ta được đồ thị của hàm số y=|sinx| 

 

Bài 4 ( SGK trang 17 Đại số và Giải tích 11)

Chứng minh rằng sin2(x+kπ)=sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y=sin2x.

Đáp án :

Do sin(t+k2π) = sint∀k∈Z (tính tuần hoàn của hàm số f(t)=sint), từ đó

sin(2π+k2π)=sin2x⇒sin2(tx+kπ)=sin2x∀k∈Z.

Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số y=sin2x, chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài π (đoạn [−π2;π2] Chẳng hạn), rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài π .

Với mỗi x0∈ [−π2;π2] thì x=2x0∈[−π;π], điểm M(x;y=sinx) thuộc đoạn đồ thị (C) của hàm số y=sinx(x∈[−π;π]) và điểm M′(x0;y0=sin2x0) thuộc đoạn đồ thị (C′) của hàm số y=sin2x, ( x∈ [−π2;π2]) (h.5).

Chú ý rằng, x=2x0⇒sinx=sin2x0 do đó hai điểm M′ , M có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của M′ bằng một nửa hoành độ của M. Từ đó ta thấy có thể suy ra (C′) từ (C) bằng cách “co” (C) dọc theo trục hoành như sau :

- Với mỗi M(x;y)∈(C) , gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống trục Oy và M′ là trung điểm của đoạn HM thì M′ (x2;y) ∈(C′) (khi M vạch trên (C) thì M′ vạch trên (C′)). Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của (C′) (các điểm M′ ứng với các điểm M của (C) với hoành độ ∈{0;±π6;±π4;±π3;±π2} ).

 


 

11 1 3

Bài 5 ( SGK trang 18 Đại số và Giải tích 11)

Dựa vào đồ thị hàm số y=cosx, tìm các giá trị của x để cosx=12.

Đáp án :

cosx=12  là phương trình xác định hoành độ giao điểm của đường thẳng y=12 và đồ thị y=cosx.

Từ đồ thị đã biết của hàm số y=cosx ta xác định giao điểm của nó với đường thẳng y=12, ta suy ra x=±π3+k2π(k∈Z), (Các em học sinh nên chú ý tìm giao điểm của đường thẳng cắt đồ thị trong đoạn [-π ; π] và thấy ngay rằng trong đoạn này chỉ có giao điểm ứng với x=±π3 rồi sử dụng tính tuần hoàn để suy ra tất cả các giá trị của x là x=±π3+k2π(k∈Z).

 


 

11 1 5

Bài 6 ( SGK trang 18 Đại số và Giải tích 11)

Dựa vào đồ thị hàm số y=sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Đáp án :

11 1 6

 

Nhìn đồ thị y=sinx ta thấy trong đoạn [−π;π] các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị y=sinx là các điểm có hoành độ thuộc khoảng (0;π). Từ đó, tất cả các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương là (0+k2π;π+k2π) hay (k2π;π+k2π) trong đó k là một số nguyên tùy ý.


Bài 7 ( SGK trang 18 Đại số và Giải tích 11)

Dựa vào đồ thị hàm số y=cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm

Trả lời:

11 1 7

 

 

Dựa vào đồ thị hàm số y=cosx, để làm hàm số nhận giá trị âm thì:

x∈(−3π2;−π2);(π2;3π2)...


Bài 8 ( SGK trang 18 Đại số và Giải tích 11)

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a) y=2cosx+1 ; 

b)y=3−2sinx .

Đáp án :

a) Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số đã cho ta có

0≤cosx≤1 =>y=2cosx+1≤3.

Giá trị y=3 đạt được khi cosx=1⇔x=k2π,k∈Z, do đó max y=3.

b) Ta có −1≤sinx≤1∀x =>2≥−2sinx≥−2 =>1≤y=3–2sinx≤5, ∀x .

Giá trị y=5 đạt được khi sinx=−1 ⇔x−π2+k2πk∈Z.

Vậy max 



 


 
 Từ khóa: hàm số lượng giác
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  Ẩn/Hiện ý kiến

Mã chống spam   

Những tin mới hơn

 

Những tin cũ hơn

Thời điểm thi THPT QG

Bạn muốn tổ chức thi thử vào THPT QG khi nào?

Top