Giới hạn của hàm số LT

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LT

Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K\setminus \{x_0\}$. 

$\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}f\left(x\right)=L$ khi và chỉ khi với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\setminus \{x_0\}$ và $x_n\to x_0$_, ta có 
$limf\left(x_n\right)=L$. 

+) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $(x_0;b)$.

$\underset{x\to x_{{}_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$ khi và chỉ khi dãy số \((x_n) bất kì, $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ ,ta có $limf\left(x_n\right)=L$.

+) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $(a;x_0)$.

$\underset{x\to x_{{}_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$ khi và chỉ khi với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$, ta có 
$limf\left(x_n\right)=L$.

+) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $(a;+\infty )$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ khi và chỉ khi với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n>a$, $x_n\to +\infty$ thì $limf\left(x_n\right)=L$.

+) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $(-\infty ;a)$.

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ khi và chỉ khi với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n<a$, $x_n\to -\infty$ thì $limf\left(x_n\right)=L$.

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $(a;+\infty )$, $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=-\infty$ khi và chỉ khi với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n>a$, $x_n\to +\infty$ thì ta có $limf\left(x_n\right)=-\infty$

+) Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K\setminus \{x_0\}$. 

$\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$ và chỉ khi với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\setminus \{x_0\}$ và $x_n\to x_0$ thì ta có 

$limf\left(x_n\right)=+\infty$.

Nhận xét: $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\infty$ khi và chỉ khi $-f\left(x\right)$ có giới hạn $-\infty$.

3. Các giới hạn đặc biệt

a) $\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}x=x_0$;

b) $\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}c=c$;

c) $\underset{x\to \pm \infty }{lim}c=c$;

d) $\underset{x\to \pm \infty }{lim}$ $\frac{c}{x}=0$ ($c$ là hằng số);

e) $\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^k=+\infty$, với $k$ nguyên dương;

f) $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=-\infty$, nếu $k$ là số lẻ;

g)  $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=+\infty$ , nếu $k$ là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu $\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}=L$ và $\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}$ $g\left(x\right)=M$ thì:

$\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}\left[f\right(x)+g(x\left)\right]=L+M$;

$\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}\left[f\right(x)-g(x)=L-M$;

$\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}\left[f\right(x).g(x\left)\right]=L.M$;

$\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}$ $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$= $\frac{L}{M}$ (nếu $M\ne 0$).

b) Nếu $f\left(x\right)\ge 0$ và $\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}f\left(x\right)=L$, thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi $x_n\to +\infty$ hoặc $x_n\to -\infty$.

Định lí 2.

$\underset{x\to x_{{}_0}}{lim}f\left(x\right)=L$ khi và chỉ khi $\underset{x\to x_{{}_0}^{+}}{lim}$ f(x) = $\underset{x\to x_{{}_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$.

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích $f\left(x\right).g\left(x\right)$

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

(Dấu của $g\left(x\right)$ xét trên một khoảng $K$ nào đó đang tính giới hạn, với $x\ne x_0$ ).