GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LT
Lý thuyết về giới hạn của hàm số.
Tóm tắt lý thuyết
1. Giới hạn hữu hạn
+) Cho khoảng KK chứa điểm x0x0 và hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên KK hoặc trên K∖{x0}K∖{x0}.
limx→x0f(x)=Llimx→x0f(x)=L khi và chỉ khi với dãy số (xn)(xn) bất kì, xn∈K∖{x0}xn∈K∖{x0} và xn→x0xn→x0, ta có
limf(xn)=Llimf(xn)=L.
+) Cho hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b)(x0;b).
limx→x+0f(x)=Llimx→x0+f(x)=L khi và chỉ khi dãy số \((xn) bất kì, x0<xn<bx0<xn<b và xn→x0xn→x0 ,ta có limf(xn)=Llimf(xn)=L.
+) Cho hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0)(a;x0).
limx→x−0f(x)=Llimx→x0−f(x)=L khi và chỉ khi với dãy số (xn)(xn) bất kì, a<xn<x0a<xn<x0 và xn→x0xn→x0, ta có
limf(xn)=Llimf(xn)=L.
+) Cho hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞)(a;+∞).
limx→+∞f(x)=Llimx→+∞f(x)=L khi và chỉ khi với dãy số (xn)(xn) bất kì, xn>axn>a, xn→+∞xn→+∞ thì limf(xn)=Llimf(xn)=L.
+) Cho hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên khoảng (−∞;a)(−∞;a).
limx→−∞f(x)=Llimx→−∞f(x)=L khi và chỉ khi với dãy số (xn)(xn) bất kì, xn<axn<a, xn→−∞xn→−∞ thì limf(xn)=Llimf(xn)=L.
2. Giới hạn vô cực
Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:
+) Cho hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞)(a;+∞), limx→+∞f(x)=−∞limx→+∞f(x)=−∞ khi và chỉ khi với dãy số (xn)(xn) bất kì, xn>axn>a, xn→+∞xn→+∞ thì ta có limf(xn)=−∞limf(xn)=−∞
+) Cho khoảng KK chứa điểm x0x0 và hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên KK hoặc trên K∖{x0}K∖{x0}.
limx→x0f(x)=+∞limx→x0f(x)=+∞ và chỉ khi với dãy số (xn)(xn) bất kì, xn∈K∖{x0}xn∈K∖{x0} và xn→x0xn→x0 thì ta có
limf(xn)=+∞limf(xn)=+∞.
Nhận xét: f(x)f(x) có giới hạn +∞+∞ khi và chỉ khi −f(x)−f(x) có giới hạn −∞−∞.
3. Các giới hạn đặc biệt
a) limx→x0x=x0limx→x0x=x0;
b) limx→x0c=climx→x0c=c;
c) limx→±∞c=climx→±∞c=c;
d) limx→±∞limx→±∞ cx=0cx=0 (cc là hằng số);
e) limx→+∞xk=+∞limx→+∞xk=+∞, với kk nguyên dương;
f) limx→−∞xk=−∞limx→−∞xk=−∞, nếu kk là số lẻ;
g) limx→−∞xk=+∞limx→−∞xk=+∞ , nếu kk là số chẵn.
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
a) Nếu limx→x0=Llimx→x0=L và limx→x0limx→x0 g(x)=Mg(x)=M thì:
limx→x0[f(x)+g(x)]=L+Mlimx→x0[f(x)+g(x)]=L+M;
limx→x0[f(x)−g(x)=L−Mlimx→x0[f(x)−g(x)=L−M;
limx→x0[f(x).g(x)]=L.Mlimx→x0[f(x).g(x)]=L.M;
limx→x0limx→x0 f(x)g(x)f(x)g(x)= LMLM (nếu M≠0M≠0).
b) Nếu f(x)≥0f(x)≥0 và limx→x0f(x)=Llimx→x0f(x)=L, thì L≥0L≥0 và limx→x0√f(x)=√Llimx→x0f(x)=L
Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi xn→+∞xn→+∞ hoặc xn→−∞xn→−∞.
Định lí 2.
limx→x0f(x)=Llimx→x0f(x)=L khi và chỉ khi limx→x+0limx→x0+ f(x) = limx→x−0f(x)=Llimx→x0−f(x)=L.
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc giới hạn của tích f(x).g(x)f(x).g(x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x)g(x)f(x)g(x)
(Dấu của g(x)g(x) xét trên một khoảng KK nào đó đang tính giới hạn, với x≠x0x≠x0 ).
