Giới hạn của dãy số LT

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ LT

Lý thuyết về giới hạn của dãy số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) $\underset{n \to + \infty}{l i m} u_{n} = 0$ khi và chỉ khi $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) $\underset{n \to + \infty}{l i m} u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n \to + \infty}{l i m} (u_{n} - a) = 0$ .

2. Giới hạn vô cực

+) $\underset{n \to + \infty}{l i m} u_{n} = + \infty$ khi và chỉ khi $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+ $\underset{n \to + \infty}{l i m} u_{n} = - \infty \Leftrightarrow \underset{n \to + \infty}{l i m} (- u_{n}) = + \infty$ .

3. Các giới hạn đặc biệt

a) $lim \frac{1}{n} = 0$ ;

$lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ ;

$lim n^{k} = + \infty$ , với $k$ nguyên dương.

b) $lim q^{n} = 0$ nếu $| q | < 1$ ;

$lim q^{n} = + \infty$ nếu $q > 1$ .

c) $lim c = c$ ( $c$ là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu $lim u_{n} = a$ và $lim v_{n} = b$ , thì:

$l i m (u_{n} + v_{n}) = a + b$

$l i m (u_{n} - v_{n}) = a - b$

$l i m (u_{n} . v_{n}) = a b$

$l i m \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b}$ (nếu $b \neq 0$ ).

b) Nếu $u_{n} \geq 0$ với mọi $n$ và $l i m u_{n} = a$ thì $a > 0$ và $l i m \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu $lim u_{n} = a$ và $lim v_{n} = \pm \infty$ thì $lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0$ .

b) Nếu $lim u_{n} = a > 0$ , $lim v_{n} = 0$ và $v_{n} > 0$ với mọi $n$ thì $lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = + \infty$

c) Nếu $lim u_{n} = + \infty$ và $lim v_{n} = a > 0$ thì $lim (u_{n} . v_{n}) = + \infty$ .

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội $q$ thỏa mãn $| q | < 1$ .

+) Công thức tính tổng $S$ của cấp số lùi vô hạn $(u_{n})$ :

$S = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . = \frac{u_{1}}{1 - q}$

Đăng ký tư vấn

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa dạy tốt giới thiệu đến bạn đọc tóm tắt kiến thức lí thuyết của bài học giới hạn của dãy số