Các định nghĩa

CÁC ĐỊNH NGHĨA

Bài 1 ( SGK trang 7 Hình học 10)

Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đều khác vec tơ $\overrightarrow{0}$. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

b) Nếu $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng .

Giải

a) Gọi  theo thứ tự ${\Delta }_1,{\Delta }_2,{\Delta }_3$ là giá của các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ $\Rightarrow {\Delta }_1//{\Delta }_3$ ( hoặc ${\Delta }_1\equiv {\Delta }_3$)   (1)

$\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ $\Rightarrow {\Delta }_2//{\Delta }_3$ ( hoặc ${\Delta }_2\equiv {\Delta }_3$ )   (2)

Từ (1), (2) suy ra  ${\Delta }_1//{\Delta }_2$ ( hoặc ${\Delta }_1\equiv {\Delta }_2$ ), theo định nghĩa hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Vậy câu a) đúng.

b) Đúng.

Bài 2 ( SGK trang 7 Hình học 10)

Trong hình 1.4, hãy chỉ ra các vec tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau.

Giải

- Các vectơ cùng phương: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$;   $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{w}$; $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

- Các vectơ cùng hướng:   $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$;   $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$

- Các vectơ ngược hướng:  $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$;  $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{w}$; $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{w}$;  $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{w}$.

- Các vectơ bằng nhau:  $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{y}$.

Bài 3 ( SGK trang 7 Hình học 10)

Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.

Giải

Ta chứng minh hai mệnh đề:

*) Khi $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ thì $ABCD$ là hình bình hành.

Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:

$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$  ⇔ $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = $\left|\overrightarrow{DC}\right|$ và $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

 $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng suy ra $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau,

hay $AB//DC$                          (1)

Ta lại có  $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = $\left|\overrightarrow{DC}\right|$ suy ra $AB=DC$   (2)

Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

*) Khi $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$

  Khi $ABCD$ là hình bình hành thì $AB//CD$. Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng     (3)

Mặt khác $AB=CD$ suy ra $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = $\left|\overrightarrow{CD}\right|$          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$.

Bài 4 ( SGK trang 7 Hình học 10)

Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$.

a) Tìm các vec to khác $\overrightarrow{0}$và cùng phương với $\overrightarrow{OA}$

b) Tìm các véc tơ bằng véc tơ $\overrightarrow{AB}$

Giải

a) Các vec tơ cùng phương với vec tơ  $\overrightarrow{OA}$:

$\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{EF}$; $\overrightarrow{DO}$; $\overrightarrow{OD}$; $\overrightarrow{DA}$; $\overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{FE}$ và $\overrightarrow{AO}$.

b) Các véc tơ bằng véc tơ $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{ED}$; $\overrightarrow{FO}$; $\overrightarrow{OC}$.